最长公共子序列（LCS）

问题描述

子串应该比较好理解，至于什么是子序列，这里给出一个例子：有两个母串

• cnblogs
• belong

比如序列bo, bg, lg在母串cnblogs与belong中都出现过并且出现顺序与母串保持一致，我们将其称为公共子序列。最长公共子序列（Longest Common Subsequence,LCS），顾名思义，是指在所有的子序列中最长的那一个。子串是要求更严格的一种子序列，要求在母串中连续地出现。在上述例子的中，最长公共子序列为blog（cnblogs,belong），最长公共子串为lo（cnblogs, belong）。

求解算法

对于母串X=, Y=，求LCS与最长公共子串。
假设Z=是X与Y的LCS， 我们观察到：

• 如果Xm=Yn，则Zk=Xm=Yn，有：Zk−1是Xm−1与Yn−1的LCS；
• 如果Xm≠Yn，则Zk是Xm与Yn−1的LCS，或者是Xm−1与Yn的LCS。

因此，求解LCS的问题则变成递归求解的两个子问题。但是，上述的递归求解的办法中，重复的子问题多，效率低下。改进的办法——用空间换时间，用数组保存中间状态，方便后面的计算。这就是动态规划（DP)的核心思想了。
DP求解LCS
用二维数组ci记录串x1，x2，⋯，xi与y1，y2，⋯，yj的LCS长度，则可得到状态转移方程：

由最长公共子序列问题的最优子结构性质可知，要找出X=和Y=的最长公共子序列，可按以下方式递归地进行：当xm=yn时，找出Xm-1和Yn-1的最长公共子序列，然后在其尾部加上xm(=yn)即可得X和Y的一个最长公共子序列。当xm≠yn时，必须解两个子问题，即找出Xm-1和Y的一个最长公共子序列及X和Yn-1的一个最长公共子序列。这两个公共子序列中较长者即为X和Y的一个最长公共子序列。
在算法LCS中，每一次的递归调用使i或j减1，因此算法的计算时间为O(m+n)。

代码实现

int lcs(String str1, String str2) { int len1 = str1.length(); int len2 = str2.length(); int c[][] = new int[len1 + 1][len2 + 1]; for (int i = 0; i <= len1; i++) { for (int j = 0; j <= len2; j++) { if (i == 0 || j == 0) { c[i][j] = 0; } else if (str1.charAt(i - 1) == str2.charAt(j - 1)) { c[i][j] = c[i - 1][j - 1] + 1; } else { c[i][j] = max(c[i - 1][j], c[i][j - 1]); } } } return c[len1][len2]; }