文章2009年发表，至今已经被引用183次。足以证明这篇文章价值。眼下这篇文章网上已经有人对这篇文章做了介绍，但仅介绍了当中最简单的两个算法，对当中的所做优化，并没有做分析。

为了加深对文章算法的理解，我又一次对这篇文章的算法做了整理，同一时候加了自己的理解，以及算法在我们工作可能涉及的应用场景。鉴于“一图胜千言”的想法，我添加大量图片，以及实际样例演化算法流程，以增强对算法的理解。

已发表这方面的文章也不是特别多。依据“Graph Twiddling in a MapReduce world”，本文具体介绍了 四个图算法的实现。各自是图节点度计算，三元环检測，四元环检測，k-桁结构（k-trusses）检測。

三元环检測主要思想是先查找全部开三元环（相当于三个节点形成一条链），然后一条边能否够将这个开三元环闭合（即是否有一条边能够将链的两个端点闭合）。
这里有两个优化点，能够大大提供算法性能。 首先，为了减少计算复杂度，一个三元环，我们仅仅输出一次。假设对三元环中节点排序（最简单的办法就是节点按字母排序），通过逆序或者旋转三元环的节点输出顺序仅仅有一种（比如ABC,BAC, CBA, ACB… 都能够由ABC逆序或者旋转得到）。

因为这个性质，每轮mapper reducer过程，输出时候保证节点是按顺序的。 其次，二次爆炸问题，当某一个节点度比較高的时候，那么通过这个节点边就会非常多。进而形成的开三元环也会比較多（比如，节点A的度为N。那么通过节点A边有N条边，这N条边随意两条都能够形成一个开三元环，终于A节点将形成N（N-1）/2 个开三元环，当N非常大时候性能会有非常大影响）。一个解决的方法是，使用度较小的节点为key做合并，这样数据被分散到度比較小的节点上。

（结合上面的性质，三元环节点序是仅仅有一种，所以不会出现有些三元环没找到的情况）。这两个优化点能大大提高算法性能。

我们以第一节中的图1为例，详细的hadoop算法流程例如以下

检測三元环算法包括两个MapReducer过程：

• MapReducer-1
  • Mapper:
    • input: 带有度的边
    • output： 以边中度较小的节点为key。边为键值输出。【减少二次爆炸问题】
  • Reducer：
    • process：合并节点的开三元环。
    • output：输出开三元环，输出时候按三元环两端节点字母排序输出。【保证输出顺序】
• MapReducer-2
  • Mapper：
    • input：a) 全部带有度的边，按字母顺序输出; b) MapReduce-1中产生的全部开三元环；
    • output：输出边 和开三元环；
  • Reducer：
    • process： 推断是否，一条边能将开三元环闭合；可以闭合则是一个三元环；
    • output： 输出全部三元环

四元环检測

四元环检測基本思想与检測三元环类似。

能够先找两个开三元环，假设两个开三元环连接同样的两个端点，那么这两个开三元环组成一个四元环。为了降低计算量。我们先分析一下四元环旋转和逆序的性质。

先从三元环说起，前面已经提到了。假如三元环顶点有序。那么通过旋转和逆序三元环的顺序是唯一的（ABC，BCA。CAB。CBA，ACB，BAC都能够通过ABC旋转或者逆序得到）。

对于四元环四个顶点（A，B。C。D）。四个顶点的排列方式有4!=24中，可是通过旋转和逆序仅仅有三种排列方式 （排序方法最简单就是按字母顺序排序）。

如图4所看到的。我们继续对上面四元环进行分析。依据当中三元环顶点与其邻居节点的关系。我们对上面三个四元环进行分类。首先（a）中两个开三元环（蓝色）的顶点（A,B）比它们相邻的节点（C,D）都小。（b）中两个开三元环（蓝色和黑色），黑色开三元环顶点小于它邻居节点。蓝色开三元环的顶点在邻居节点中间；（c）中两个开三元环（黑色），顶点都在邻居节点中间。所以四元环能够分解成两种三元环的组合：一种三元环。其顶点在两个邻居节点中间，一种三元环。其顶点比邻居节点小。通过这种策略我们降低开三元环的输出，降低算法的复杂度，后面我们将看到这个策略的应用。

四元环检測算法例如以下：
a) mapper输入全部的边，分别以边节点为key。边为value的键值，同一时候对键值对进行标注，标记输出的节点的字母排序（或者其它排序）大小。比如，处理边AF时候， mapper输出值有两个键值对,<A,(AF),L> <F,(AF),H>。第一个值表示key A，键值 AF。L表示A < F （字母序）; 第二个值表示key F。键值AF。H表示 F>A（字母序）;

b) reducer 处理全部节点相应的开三元环 ,这里注意我们输出两种开三元环：（I）输出节点关联的随意两个L键值对组成的开三元环 （比如。图中C，F相应的两个L键值对，他们组成的开三元环都要输出。假设有三个对以上的L 键值，随意两对组成的开三元环都要输出）。（II）输出节点随意一个L键值对和全部的H键值组成的开三元环（比如图中D,F节点）。 【这里就是为什么上面我们分析四元环的组成。由于随意一个四元环仅仅能分解成。两种情况顶点小于两个相邻节点，顶点在两个相邻节点中间。两个L键值对表示的就是顶点小于两个相邻节点。一个L键值和一个H键值表示就是顶点在两个相邻节点中间】

c) 最后一个Reducer就是分析是否两个开三元环的顶点不一样。可是端点一致；是则是四元环；否则不是。

算法流程能够见下图5

k-trusses 结构检測

k-trusses 桁结构的定义是：a relaxation of a kmember clique and is a nontrivial, single-component maximal subgraph, such that every edge is contained in at least k -2 triangles in the subgraph. 详细理解。桁结构中是由三角结构组成的平面或者立体结构。例如以下图中（a）是一个4-trusses。而（b）不是4-trusses；（b）是两个3-trusses。桁结构有非常多力学性质。在网络社区发现等算法中k-trusses也常常被觉得是一簇紧密相连的节点，能够聚为一类。以下我们就来介绍一下。通过hadoop框架来实现k-trusses结构检測的问题。

从上面定义能够发现事实上寻找k-trusses问题能够转化为查找三元环问题。

同一时候。因为k-trusses的边满足支撑条件（即k-trusses中的边至少属于k-2 triangles），能够考虑每次删除图中不满足支撑条件的边。检验剩下的图中边是否还满足支撑条件，不断迭代。

假设将全部不满足支撑条件的边都去掉，图中剩余的component。就是k-trusses。详细算法例如以下：

• 1) 计算边的度。检測出全部的三元环
• 2) 输出三元环全部边，记录边所在三元环的个数。
• 3) 保留满足支撑条件的边；
• 4) 假设step 4 删除某些边，那么goto step1
• 5) 剩下图中的components。每个都是k-trusses

当中step 3,4 是一个MapReducer过程。

详细计算步骤例如以下，假如初始图例如以下。我们要做4-trusses检測：

• 1) 计算节点度，检測三元环；
• 2) step 3, step 4 为一个MapReduce过程,演示示意图例如以下图6。

   

• 3) Reducer过程中去掉了一些边。那么回到step1，又一次对剩下的边做三元环检測，看剩下的边是否满足支撑条件。例如以下图所看到的，这时我们发现剩下的边组成例如以下的图，由此我们推理出trusses检測算法的主要流程，最后满足支撑条件的边都能构成4-trusses。