bitmap计数，求TopK最快的方法？

《TopK到底怎么答？》介绍了TopK的四种解法，其中随机选择 (randomized select) 最为经典，用减治法 (Reduce & Conquer) 的思想，将数据规模急速降低，总体复杂度为O(n)。

结尾挖了一个坑：求TopK，有没有比随机选择更快的方法呢？

空间换时间，是算法优化中最常见的手段，如果有相对充裕的内存，可以有更快的算法。

画外音：即使内存不够，也可以水平切分，使用分段的方法来操作，减少每次内存使用量。

TopK问题描述

从arr[1, 12]={5,3,7,1,8,2,9,4,7,2,6,6} 这n=12个数中，找出最大的k=5个。

比特位图(bitmap)法

bitmap，是空间换时间的典型代表。它是一种，用若干个bit来表示集合的数据结构。

例如，集合S={1,3,5,7,9}，容易发现，S中所有元素都在1-16之间，于是，可以用16个bit来表示这个集合：存在于集合中的元素，对应bit置1，否则置0。

画外音：究竟需要多少存存储空间，取决于集合中元素的值域，在什么范围之内。

上述集合S，可以用1010101010000000这样一个16bit的bitmap来表示，其中，第1, 3, 5, 7, 9个bit位置是1。

假设TopK的n个元素都是int，且元素之间没有重复，只需要申请2^32个bit，即4G的内存，就能够用bitmap表示这n元素。

扫描一次所有n个元素，以生成bitmap，其时间复杂度是O(n)。生成后，取TopK只需要找到最高位的k个bit即可。算法总时间复杂度也是O(n)。

伪代码为：

bitmap[4G] = make_bitmap(arr[1, n]); return bitmap[top k bits];

bitmap算法有个缺点，如果集合元素有重复，相同的元素会被去重，假设集合S中有5个1，最终S制作成bitmap后，这5个1只对应1个bit位，相当于4个元素被丢掉了，这样会导致，找到的TopK不准。该怎么优化呢？

比特位图计数

优化方法是，每个元素的1个bit变成1个计数。

如上图所示，TopK的集合经过比特位图计数处理后，会记录每个bit对应在集合S中出现过多少次。

接下来，找TopK的过程，就是bitmap从高位的计数开始，往低位的计数扫描，得到count之和等于k，对应的bit就是TopK所求。

如上图所示，k=5：

（1）第一个非0的count是1，对应的bit是9；

（2）第二个非0的count也是1，对应的bit是8；

（3）第三个非0的count是2，对应的bit是7；

（4）第四个非0的count是2，对应的bit是6，但TopK只缺1个数字了，故只有1个6入选；

故，最终的TopK={9, 8, 7, 7, 6}。

结论：通过比特位图精准计数的方式，求解TopK，算法整体只需要不到2次扫描，时间复杂度为O(n)，比减治法的随机选择会更快。

为了巩固今天的内容，例行挖个坑。

面试中，还有个问题问得比较多：求一个正整数的二进制表示包含多少个1？

例如：7的二进制表示是111，即7的二进制表示包含3个1。

画外音：我面试过程中从不问这个问题。

最常见的解法是：

uint32_t count_one(uint32_t n){ uint32_t count=0; while(n){ count ++; n &= (n-1); } return count; }

提问：还有多少种更快的方法呢？

原文发布时间为：2018-09-25

本文作者：58沈剑

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