面试中，问得比较多的几个问题之一，求斐波那契数列f(n)？
画外音：姐妹篇
《拜托，面试别再问我TopK了！！！》
《拜托，面试别再让我数1了！！！》
什么是斐波那契数列？
斐波那契数列是这样一个数列，它满足：
f(0) = 0;
f(1) = 1;
f(n) = f(n-1) + f(n-2) (当n>=2时)
到底有几种方法，这些思路里蕴含的优化思路究竟是怎么样的，今天和大家聊一聊。
一、递归法
伪代码：
uint32_t f(uint32_t n){
if(n==0) return 0;
if(n==1) return 1;
return f(n-1)+f(n-2);
}
思路：这是一个递归的代码，非常清晰，直接把斐波那契数列的定义翻译成了代码。
例如：
假设要求f(5)
f(5) = f(4) + f(3);
于是会递归计算f(4)和f(3);
接着要求f(4)
f(4) = f(3)+ f(2);
于是会递归计算f(3)和f(2);
可以看到，计算f(5)和f(4)中都要计算f(3)，但这两次f(3)会重复计算，这就是递归的最大问题，对于同一个f(a)，不能复用。
计算一个f(n)到底需要有多少次递归调用呢？
我们可以在代码里加一个计数验证一下。
伪代码：
static uint32_t count=0; // 加一个全局变量计数
uint32_t f(uint32_t n){
count++; // 递归一次，计数加一
if(n==0) return 0;
if(n==1) return 1;
return f(n-1)+f(n-2);
}
实验的结果：
f(5) count = 15
f(10) count = 177
f(15) count = 1K+
f(20) count = 2W+
f(25) count = 24W+
f(30) count = 269W+
f(35) count = 2986W+
f(40) count = 3.3Y+
f(45) … 抱歉，我机器太慢，算不出来
额滴神哪，不是骗我吧！！！
画外音：
（1）这个count，是函数递归了对少次；
（2）f(45)，机器居然算不出来；
（3）对结论有疑问的，自己可以run一把；
启示：
（1）斐波那契数列求解，如果用直接法，时间复杂度是指数级的，不可行；
（2）如果没有太大的把握，工程中尽量少使用递归，容易把自己玩死；
二、正推法
从斐波那契数列的定义：
f(0) = 0;
f(1) = 1;
f(n) = f(n-1) + f(n-2) n>=2时
可以看出，每一个新的f(n)，是前两个旧的f(n-1)和f(n-2)之和，一路递归下去，最终都将递归到f(0)和f(1)上来。
反过来想，我们不倒着f(n),f(n-1),f(n-2)这么计算，而是f(0),f(1),f(2)…f(n)这么正向计算，岂不是更快么？
伪代码：
uint32_t f(uint32_t n){
uint32_t arr[n];
arr[0]=0;
arr[1]=1;
for(uint32_t i=2;i<=n;i++){
arr[i]=arr[i-1]+arr[i-2];
}
return arr[n];
}
这么正向的计算，只需要一个for循环，就能够计算出f(n)的值，时间复杂度是O(n)。
三、通项公式法
f(0) = 0;
f(1) = 1;
f(n) = f(n-1) + f(n-2) (当n>=2时)
大学学过相关课程，可解出f(n)通项公式。
画外音：额，是不是有朋友读了个假大学。
线性递推数列：
f(n) = f(n-1) + f(n-2)
对应的特征方程是：
x^2 = x + 1
求解特征方程得到：
x1=(1+√5)/2
x2=(1-√5)/2
于是得到：
f(n) = a1(x1)^n + a2(x2)^n
将：
f(0) = 0;
f(1) = 1;
代入上述通项公式。
于是得到：
a1=1/√5
a2=-1/√5
于是最终得到：
f(n)=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n -[(1-√5)/2]^n}
画外音：别问我为什么懂这些，我TM作为计算机信息安全专业，也被数论，有限域，加密解密这些数学学科折磨过。
可忽略上述吹牛*的过程，百度一下能得到答案。
![83ed70140e0d1504b15280e1c9c2357f4f81169e]()
总之，得到了斐波那契数列通项公式：
f(n) = a1(b1)^n + a2(b2)^n
其中a1, b1, a2, b2四个数字都是常数。
想求f(45)，把n=45带入上述通项公式即可。
那么，带入通项公式求解，时间复杂度是多少呢？是O(1)么？
通项公式的计算，并不能O(1)得到，而是一个a^n，即power(a, n)的求解过程。
那么，如何求解a的n次方呢？
最粗暴的方法，将a不断的自乘n次。
伪代码：
uint64_t power(uint64_t a, uint64_t n){
uint64_t result=a;
for(uint64_t i=1;i<n;i++){
result *=a;
}
return result;
}
很容易知道，a通过for循环不断自乘，求解a^n的时间复杂度是O(n)。
你TM在逗我！！！
通过“正推”法，求解f(n)的时间复杂度是O(n)。
楼主搞了这么久的奇技淫巧，搞什么“通项公式法”，结果也是个O(n)的方法？？？
不不不，稍安勿躁，上面讲的都是思路，求解a^n，可以使用之前文章里说过的减治法。
还记得分治法与减治法的区别么？
●
减治法，大问题分解为小问题，小问题
只要
递归一个分支，例如：二分查找，随机选择
●
分治法。大问题分解为小问题，小问题
都要
迭代各个分支，例如：快速排序
具体在《拜托，面试别再问我TopK了！！！》里，讲随机选择时详细介绍过。
a^n减治法思路：
● 当n是偶数时，先求出
r=a^(n/2)
，再做一次r*r的计算，就得到了a^n
● 当n是奇数时，n-1就一定是偶数，先求出
r=a^(n-1)/2
，在做一次r*r*a，就得到了a^n
伪代码：
uint64_t power(uint64_t a, uint64_t n){
if(n==0)return 1;
if(n==1)return a;
uint64_t r=0;
if(n%2){
r=power(a, (n-1)/2);
return r*r*a;
}
else{
r=power(a, n/2);
return r*r;
}
}
每次将计算规模减半，是不是和二分查找很像？减治法求a^n的时间复杂度是O(lg(n))。
四、查表法
通过之前几篇算法文章的套路，大家应该猜得到，一到结尾，空间换时间的方法就出场了，如果有相对充裕的内存，可以有更快的算法。
思路：f(n)，一旦n的值确定，f(n)也就确定，可以提前计算好结果数组：
result[0]=0;
result[1]=1;
result[2]=1;
result[3]=2;
result[4]=3;
…
求f(n)时直接打表即可，伪代码：
return result[n];
打表的时间复杂度是O(1)。
画外音：但每期都讲打表，太没有意思了。
五、总结
斐波那契数列，不难；
但其思路有优化过程，并不简单：
●
递归法，f(45)能跑得死机
●
正推法，O(n)，正推计算，有点意思
●
通项公式，本质转化为求a^n
●
减治法求a^n，O(lg(n))
●
打表法，O(1)，空间换时间
画外音：注意，面试现场求解通项公式，有可能会吓到面试官，请慎用。
知其然，知其所以然。
思路比结论重要。
原文发布时间为：2018-09-28
本文作者： 58沈剑
本文来自云栖社区合作伙伴“架构师之路”，了解相关信息可以关注“架构师之路”
