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撰文 | zzk
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从卷积层说起
熟悉CNN的小伙伴应该知道卷积是一个很常用也很重要的操作，CNN里的卷积和信号处理的卷积并不是一回事，CNN的卷积是做一种二维的互相关运算，以《动手学深度学习》5.1章为示例：
![922f043933408de0feafbe4197c28897.png]()
《动手学深度学习》5.1.1. 二维互相关运算
窗口内的元素和卷积核相乘，求和得到输出元素，一份naive的代码如下（同来自《动手学深度学习》
from mxnet import autograd, nd
from mxnet.gluon import nn
def corr2d(X, K): # 本函数已保存在d2lzh包中方便以后使用
h, w = K.shape
Y = nd.zeros((X.shape[0] - h + 1, X.shape[1] - w + 1))
for i in range(Y.shape[0]):
for j in range(Y.shape[1]):
Y[i, j] = (X[i: i + h, j: j + w] * K).sum()
return Y
这里是借助了numpy array的索引特性来写的，如果在c++里写，需要的循环层数更多（会在后面进行展示）。而这种循环计算的写法效率并不高，会极大拖慢卷积运算的速度。
2
初见img2col
为了提高卷积运算的速度，img2col算法被发明了出来的，它的本质是用矩阵乘法来等价卷积运算，示例图如下：
![6936416baaa2392d478bfe47dd971b14.png]()
图源来自微软AI-system仓库
https://github.com/microsoft/AI-System/blob/main/docs/SystemforAI-4-Computer%20architecture%20for%20Matrix%20computation.pdf 这是微软的AISystem仓库对应的章节，强烈推荐大家去学习（本人鸽了好久没看完）
可以看到img2col把输入特征图进一步展开，然后把filter展平，两者做矩阵乘，得到了相同的结果。
3
理解img2col
看了上面的图可能还是不能理解这是怎么展开的，这里我们会介绍下：
假设输入特征图为(N, Cin, H, W)，卷积核参数为(K, K, Cin, Cout), 输出特征图的长宽为(Oh, Ow)
经过img2col后，输入特征图会变换为 (N, Cin*K*K, Oh*Ow) 这么一个三维向量。
此外卷积核我们会reshape成一个二维向量：(Cout, K*K*Cin)。
而这两个向量可以做一个矩阵乘，输出向量为(N, Cout, Oh*Ow)，这也是我们预期的卷积结果。
img2col算法是一种用空间换时间的做法，将输入进行变换后，显然它所占用的显存空间变大了，好处则是可以借助矩阵乘，快速地完成卷积运算。
下面我会结合darknet的原生img2col和一篇博客来进行相关讲解
代码：
https://github.com/pjreddie/darknet/blob/master/src/im2col.c
博客：
https://blog.csdn.net/caicaiatnbu/article/details/100515321
4
img2col源码
darknet的img2col其实是搬运自caffe的，我们这里为了方便理解，以简单的CPU版本为例子，且不考虑batch维度。
为了让读者能够快速运行上代码，这里讲解我以自己写的一版darknet img2col来作为示例。
def darknet_img2col(data, channels, height, width, ksize, stride, pad):
out_h = int((height + 2*pad - ksize) / stride) + 1
out_w = int((width + 2*pad - ksize) / stride) + 1
channels_cols = channels*ksize*ksize
out_shape = (channels_cols, out_h*out_w)
elem_cnt = out_shape[0] * out_shape[1]
out_array = np.zeros(shape=elem_cnt, dtype=np.float32)
首先我们可以确定输出tensor的各个维度，其中out_h和out_w就是输出的高，宽，采用的是卷积输出的公式：
![ea75fb7c22da9e95590be0c22ea30530.png]()
PyTorch的Unfold文档
而channel_cols则是之前我们提到的，img2col会把第二个维度变换为C_in*K*K。
然后进入到次数为channel_cols的for循环
for c in range(channels_cols):
# 分别计算一个k*k的窗口内，h，w的偏移量
kh_offset = (c // ksize) % ksize
kw_offset = c % ksize
# 计算当前处理的通道index
c_im = c // ksize // ksize
然后我们需要根据当前处理的输出元素index，来获取对应输入的元素
for h in range(out_h):
for w in range(out_w):
im_row = kh_offset + h * stride
im_col = kw_offset + w * stride
index = (c * out_h + h) * out_w + w
im_row的计算方式逻辑是：当前处理的输入元素窗口起始点：即h*stride，然后加上窗口内的kh_offset偏移量。
![1d11478d57138bca700c2fc9389eca99.png]()
取元素逻辑
而index的计算比较容易，因为输出是(C, H, W)，对应的一维index那就是
当前channel*Oh*Ow + 当前h*Ow + 当前w
最后我们再将元素取出来，赋给out数组。然后再将一维的out数组reshape成我们前面推导得到的out_shape
out_array[index] = im2col_get_pixel(data, height, width, c_im, im_row, im_col, pad)
out_array = np.reshape(out_array, out_shape)
return out_array
img2col_get_pixel是一个合法取元素的函数，如果出现越界范围（比如小于0，或者大于Oh），那么就是取到padding的部分，此时我们返回0。
def im2col_get_pixel(im, height, width, channel, row, col, pad):
row -= pad
col -= pad
if row < 0 or col < 0 or row >= height or col >= width:
return 0
return im[int(col + width * (row + height * channel))] # batch*w*h*c + width*height*channel + width*row + col
我们可以简单构造一个数组来验证结果（以微软AI-System课程的示例作为输入）
x = np.arange(1, 10).astype(np.float32)
out = darknet_img2col(x, channels=1, height=3, width=3, ksize=2, stride=1, pad=0)
输出结果符合预期：
[[1. 2. 4. 5.]
[2. 3. 5. 6.]
[4. 5. 7. 8.]
[5. 6. 8. 9.]]
col2img
col2img则是img2col的逆过程，有兴趣的读者可以参考下这个博客：
https://blog.csdn.net/caicaiatnbu/article/details/102626135
在后面的oneflow实现里会有更完整的图例用于理解
OneFlow对应的实现
PR地址：
https://github.com/Oneflow-Inc/oneflow/pull/5675
5
OneFlow版本的Unfold
在深度学习框架里，img2col和col2img在Pytorch里还有另外的名字，也就是Unfold和Fold。通常想自己自定义一些跟卷积相关的骚操作时候，就经常会用到这两个Op。
我们假设输入是一个(1, 2, 4, 4)的张量，但在框架内部，我们通常都是以一个一维数组来存储的，如下图所示：
![9a101bae6e8a64ab6158017d7f6eb38e.png]()
输入内存排布
然而我们需要对应的高维数组索引，OneFlow内部有一个NdIndexHelper类，构造的时候我们可以传入高维shape，然后调用OffsetToNdIndex来进行一维offset到高维索引的转换。
这里我们分别给输入，输出Tensor构造一个NdIndexHelper
in_index_helper = NdIndexOffsetHelper<INDEX_T, kInputNDim>(input_dims); // 格式为(N, C, H, W)
out_index_helper = NdIndexOffsetHelper<INDEX_T, kOutputNDim>(output_dims); // 格式为(N, C, Kh, Kw, Oh, Ow)
比较特别的是，我们把输出构造成一个6维的形式。
接着就是从输出的视角来推导应该取哪一个输入元素
// index_a format: (N, C, di, hi, wi, db, hb, wb) or (N, di, hi, wi, db, hb, wb, C)
// index_b format: (N, C, D, H, W) or (N, D, H, W, C)
// return: true indicates out-of-bound, otherwise in-bound
template<typename INDEX_T, int NDIM, int SDIM>
OF_DEVICE_FUNC bool UnfoldIndexTransform(const UnfoldParams<INDEX_T, NDIM, SDIM>& params,
const INDEX_T* index_a, INDEX_T* index_b) {
// batch dim index transform
index_b[0] = index_a[0];
// channel dim index transform
using ParamType = UnfoldParams<INDEX_T, NDIM, SDIM>;
index_b[ParamType::kInputChannelDim] = index_a[ParamType::kOutputChannelDim];
// spatial dim index transform
// D,H,W spatial dim index transform
for (int64_t d = 0; d < NDIM; ++d) {
INDEX_T idx = index_a[SDIM + NDIM + d] * params.stride[d]
+ index_a[SDIM + d] * params.dilation[d] - params.padding[d];
if (idx < 0 || idx >= params.dims[d]) return true;
index_b[SDIM + d] = idx;
}
return false;
}
模板参数 INDEX_T表示Index的数据类型（可以有int32_t, int64_t），NDIM表示处理几维数据（这里我们是2维），SDIM则是决定通道维所在位置，SDIM=1是NHWC格式，SDIM=2则是NCHW格式（这里我们取2）
输入参数 index_a表示输出的NdIndexHelper，index_b则表示的是输入的NdIndexHelper
从前面我们可以看到N，C这两个维度的index是不变的，所以我们直接给过去
然后进入一个次数为NDIM==2的循环
这里index的计算是从输出往输入推，公式是（以H为例）：
Oh*stride_h + kh*dilation_h - padding_h
计算得到输入的index，如果小于0或者大于输入的宽高，则说明是到了padding的地方，我们直接return true，以表示越界。如果能取到元素，我们则将这个index赋给index_b即输入的NdIndexHelper，且return false。
这部分的分解操作可参考下图：
![01f66aea111bf6da40ad65847c322bdd.png]()
从输出推导的好处就是整个运算是一个elementwise的操作，我们可以用输出tensor的元素个数做一个循环完成整个unfold操作。
template<typename T, typename INDEX_T, int NDIM, int SDIM>
__global__ void CudaUnfoldForward(UnfoldParams<INDEX_T, NDIM, SDIM> params, const T* in, T* out) {
CUDA_1D_KERNEL_LOOP_T(INDEX_T, out_offset, params.out_elem_cnt) {
using ParamType = UnfoldParams<INDEX_T, NDIM, SDIM>;
INDEX_T in_index[ParamType::kInputNDim] = {0};
INDEX_T out_index[ParamType::kOutputNDim] = {0};
params.out_index_helper.OffsetToNdIndex(out_offset, out_index);
if (!UnfoldIndexTransform<INDEX_T, NDIM, SDIM>(params, out_index, in_index)) {
INDEX_T in_offset = params.in_index_helper.NdIndexToOffset(in_index);
out[out_offset] = in[in_offset];
} else {
out[out_offset] = static_cast<T>(kUnfoldPaddingValue);
}
}
}
首先根据offset来计算当前处理输出元素的NdIndex
然后判断UnfoldIndexTransform该方法的返回值
如果为false，则说明我们可以取到输入元素，将其index转换为1d的offset，并赋值给输出
如果为true，则越界，我们填充先前设定好的一个padding_value(0)
至此整个img2col流程已经完成，整体操作可参考下图：
![aadd05ce76125e9577699c1e49efe8ef.png]()
6
OneFlow版本的Fold
![dc86cbc8f098ccc43a47137b69878803.png]()
Fold就是将每一列填充回到kxk的地方
如果能理解前面的Unfold，那么这里的Fold也能很容易的理解。只是操作的元素反过来而已。
template<typename T, typename INDEX_T, int NDIM, int SDIM>
__global__ void CudaFoldForward(FoldParams<INDEX_T, NDIM, SDIM> params, const T* input_ptr,
T* output_ptr) {
CUDA_1D_KERNEL_LOOP_T(INDEX_T, in_offset, params.in_elem_cnt) {
using ParamType = FoldParams<INDEX_T, NDIM, SDIM>;
INDEX_T in_index[ParamType::kInputNDim] = {0};
INDEX_T out_index[ParamType::kOutputNDim] = {0};
params.in_index_helper.OffsetToNdIndex(in_offset, in_index);
if (!FoldIndexTransform<INDEX_T, NDIM, SDIM>(params, in_index, out_index)) {
INDEX_T out_offset = params.out_index_helper.NdIndexToOffset(out_index);
XPUAdd<T>::Invoke(&input_ptr[in_offset], &output_ptr[out_offset]);
} else {
continue;
}
}
}
沿用前面的索引映射逻辑，我们进入一个循环次数为输入元素个数的循环体，计算得到当前offset对应的输入NdIndex。
如果FoldIndexTransform返回的是false，则计算输出的offset，并使用原子加atomic add，把输入元素累加到该输出位置。
7
小结
这部分代码是接手同事写一半的代码完成的，不得不说同事的构思真的很巧妙，通过模板参数能够拓展1d 2d 3d，nchw, nhwc各种格式，尽管直观上不太好理解。
darknet版本(Caffe同款)是比较直观的帮助新手入门的img2col算法，可以结合那两篇CSDN博客来理解整个过程。
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