每日一博 | 柯西-比内公式了解一下
本篇比较基础,公式也较多。如果兴趣不大或者已经掌握,可以直接拉到最后看小结。 1行列式乘积法则 自从行列式从方程组中独立出来以后,在矩阵代数出来之前,数学家们对行列式的关注比较多,因此很多性质被揭示出来了。 其中之一是乘积法则,即矩阵乘积的行列式等于行列式的乘积。所有 矩阵 和 ,有 这个公式很有意思,它非常漂亮地将矩阵乘法与行列式联系起来了。 你想,行列式的定义貌似一团乱麻,但这个公式竟然将矩阵乘法和行列式乘法分开得如此干净利索。不禁让人会想这到底是怎么回事呢? 公式 (1) 本身可以看作如下柯西-比内公式的一个特例, 其中, 是一个 矩阵, 是一个 矩阵, 是 中 个元素的子集, 为 中列指标位于 中的 子矩阵, 为 中行指标位于 中的 子矩阵。 我们来看个例子加深一下印象。例如,取 和 以及矩阵 和 , 从 列中挑出 列共有 种情况,因此,由柯西-比内公式可得, 实际上, 及其行列式是 ,等于公式右边。 前面的乘积法则,即公式 (1) 就是公式 (2) 当 时的特例。 其实这里还隐藏着一个小疑问,那就是上面的柯西-比内公式是在 1812 年提出来的。它里面貌似藏着矩阵乘法,而我们...