每日一博 | 柯西-比内公式了解一下-低调大师

每日一博 | 柯西-比内公式了解一下

2021-09-11 735

本篇比较基础，公式也较多。如果兴趣不大或者已经掌握，可以直接拉到最后看小结。

1行列式乘积法则

自从行列式从方程组中独立出来以后，在矩阵代数出来之前，数学家们对行列式的关注比较多，因此很多性质被揭示出来了。

其中之一是乘积法则，即矩阵乘积的行列式等于行列式的乘积。所有矩阵和，有

\operatorname{det}(\mathbf{A B})=\operatorname{det}(\mathbf{A}) \operatorname{det}(\mathbf{B}) \quad (1)

这个公式很有意思，它非常漂亮地将矩阵乘法与行列式联系起来了。

你想，行列式的定义貌似一团乱麻，但这个公式竟然将矩阵乘法和行列式乘法分开得如此干净利索。不禁让人会想这到底是怎么回事呢？

公式 (1) 本身可以看作如下柯西-比内公式的一个特例，

\operatorname{det}(\mathbf{A B})=\sum_S \operatorname{det}(\mathbf{A}_S) \operatorname{det}(\mathbf{B}_S) \quad (2)

其中，是一个矩阵，是一个矩阵，是中个元素的子集，为中列指标位于中的子矩阵，为中行指标位于中的子矩阵。

我们来看个例子加深一下印象。例如，取和以及矩阵和，

从列中挑出列共有种情况，因此，由柯西-比内公式可得，

\begin{array}{l} \operatorname{det}(A B)&=\left|\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 3 & 1 \end{array}\right| \cdot\left|\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 3 & 1 \end{array}\right|+\left|\begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 1 & -1 \end{array}\right| \cdot\left|\begin{array}{cc} 3 & 1 \\ 0 & 2 \end{array}\right|+\left|\begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 3 & -1 \end{array}\right| \cdot\left|\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{array}\right|\\[0.6em] &= -2 \times-2+-3 \times 6+-7 \times 2\\[0.6em] &= -28 \end{array}

实际上，及其行列式是，等于公式右边。

前面的乘积法则，即公式 (1) 就是公式 (2) 当时的特例。

其实这里还隐藏着一个小疑问，那就是上面的柯西-比内公式是在 1812 年提出来的。它里面貌似藏着矩阵乘法，而我们知道，矩阵独立出来并明确定义乘法是在四十年以后的事情了。关于这点，先卖个关子，后文再考古。

好了，明确一下，本篇的主要目的是回顾行列式的定义并证明公式 (1)。

2行列式的定义

上次主要说明了行列式这么定义的来历，这里正式来定义它。为了明确将每一项的符号确定下来，这里需要一个概念，那就是排列。

排列

所谓排列就是对序列的重新排序。例如集合，

\{(1,2,3) \quad(1,3,2) \quad(2,1,3) \quad(2,3,1) \quad(3,1,2) \quad(3,2,1)\}

包含了的六个不同排列。

回忆下高中排列组合的知识（现在貌似小学里已经学了）不难得到，数列具有

n !=n(n-1)(n-2) \cdots 1

个不同的排列。给定一个排列，请考虑通过一系列成对互换将其恢复为自然顺序的问题。例如，可以通过 2 和 4 的单个互换将恢复到自然顺序，或者如下图中右侧所示，可以使用三个相邻的互换。

这里重要的是交换的次数 1 和 3 都是奇数。尝试通过使用偶数个交换将恢复为自然顺序，发现是不可能做到的。这是由于排列的奇偶性是唯一的，如果可以通过偶数（奇数）次交换将排列恢复到自然顺序，那么其他所有能将恢复为自然顺序的排列都是偶数（奇数）。

因此，将排列的符号定义为，

\sigma(p)=\left\{\begin{array}{cl}+1 & \text{如果}\; p \;\text {可以通过偶数次交换恢复为自然顺序，偶排列} \\ -1 & \text{如果}\; p \;\text{可以通过奇数次交换恢复为自然顺序，奇排列}\end{array}\right.

例如，如果，则有，如果，那么，而自然顺序的符号自然是。现在可以给出行列式的一般定义。

定义

对于矩阵，的行列式定义为标量

\operatorname{det}(\mathbf{A})=\sum_{p} \sigma(p) a_{1 p_{1}} a_{2 p_{2}} \cdots a_{n p_{n}}

其中，总和取于的个置换。

请注意，术语表示从第行中选第列的那个元素，而且每个乘积都是从的每一行和每一列中仅选取一个元素。的行列式可以用 det 或表示。需要注意的是，非方阵的行列式是不存在的。

至于这个定义的引入，前面文章已经作了推导分析，应该也不需要再耿耿于怀。

按定义计算

例 1，当为时，那么就有个排列，即，因此 det 包含两项，

\sigma(1,2) a_{11} a_{22} \quad \text {和} \quad \sigma(2,1) a_{12} a_{21}

由于和，因此我们得到，

\left|\begin{array}{ll} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array}\right|=a_{11} a_{22}-a_{12} a_{21}

例 2，使用定义来计算 det ，其中

\mathbf{A}=\left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9\end{array}\right].

共 6 个乘积项，将每一项的符号和值罗列如下，

\begin{array}{c|c|c} \hline p=\left(p_{1}, p_{2}, p_{3}\right) & \sigma(p) & a_{1 p_{1}} a_{2 p_{2}} a_{3 p_{3}} \\ \hline(1,2,3) & + & 1 \times 5 \times 9=45 \\ \hline(1,3,2) & - & 1 \times 6 \times 8=48 \\ \hline(2,1,3) & - & 2 \times 4 \times 9=72 \\ \hline(2,3,1) & + & 2 \times 6 \times 7=84 \\ \hline(3,1,2) & + & 3 \times 4 \times 8=96 \\ \hline(3,2,1) & - & 3 \times 5 \times 7=105 \\ \hline \end{array}

因此，得

\begin{array}{l} \operatorname{det}(\mathbf{A})&=\sum_{p} \sigma(p) a_{1 p_{1}} a_{2 p_{2}} a_{3 p_{3}}\\[0.5em]&=45-48-72+84+96-105\\[0.5em]&=0 \end{array}

3一些特殊的行列式

有了定义以后，可以先拿下一些特殊的比较好算的行列式。

1、三角行列式

三角矩阵的行列式是其对角线项的乘积，即

\left|\begin{array}{cccc}t_{11} & t_{12} & \cdots & t_{1 n} \\ 0 & t_{22} & \cdots & t_{2 n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & t_{n n}\end{array}\right|=t_{11} t_{22} \cdots t_{n n}.

证明:

回顾前面的定义，每项乘积仅包含矩阵中每一行和每一列的一个元素。乘积中只要有一个元素位于对角线以下（0 值），那就意味着这个乘积为 0。为了乘积的值非 0，只有一种取法: 第 1 列中只能取第 1 行那个元素，第 2 列只能取第 2 行那个元素，如此等等。因此最终只有一项，那就是。❏

2、转置不改变行列式

所有矩阵均有，。

证明:

行列式的定义中包括了的所有个排列

p=\left(p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{n}\right),

而所有乘积

\left\{\sigma(p) a_{1 p_{1}} a_{2 p_{2}} \cdots a_{n p_{n}}\right\}

的集合与所有乘积

\left\{\sigma(p) a_{p_{1} 1} a_{p_{2} 2} \cdots a_{p_{n} n}\right\}

的集合相同，因此公式成立。❏

4初等矩阵

上面转置不改变行列式的公式，确保了在讨论行列式的性质时不必区分行和列。因此，当用列代替行时，涉及行操作的行列式的定理将保持不变。

例如，想了解初等行和列变换对矩阵行列式的改变情况，由上面公式可知，仅需要讨论初等行变换上就足够了。

初等行变换与行列式的关系

令为从通过如下三类初等行变换之一得到的矩阵：

类型 I：交换行和行。
类型 II：行乘以。
类型 III：行乘以加到行。

det 的值如下，

类型 I: 。
类型 II: 。
类型 III: 。

类型 I 证明:

如果除了和两行交换外，与其余行均一致，则对于的每个排列，有

\begin{aligned} b_{1 p_{1}} \cdots b_{i p_{i}} \cdots b_{j p_{j}} \cdots b_{n p_{n}} &=a_{1 p_{1}} \cdots a_{j p_{i}} \cdots a_{i p_{j}} \cdots a_{n p_{n}} \\ &=a_{1 p_{1}} \cdots a_{i p_{j}} \cdots a_{j p_{i}} \cdots a_{n p_{n}} \end{aligned}

此外，由于两个排列之间只差一次互换，所以有

\sigma\left(p_{1}, \ldots, p_{i}, \ldots, p_{j}, \ldots, p_{n}\right)=-\sigma\left(p_{1}, \ldots, p_{j}, \ldots, p_{i}, \ldots, p_{n}\right).

因此，行列式的定义保证了。❏

类型 II 证明:

如果除了外，与其余行均一致，则对于每个排列，有

b_{1 p_{1}} \cdots b_{i p_{i}} \cdots b_{n p_{n}}=a_{1 p_{1}} \cdots \alpha a_{i p_{i}} \cdots a_{n p_{n}}=\alpha\left(a_{1 p_{1}} \cdots a_{i p_{i}} \cdots a_{n p_{n}}\right)

因此由行列式的定义可得，。❏

类型 III 证明:

如果除了，与其余行均一致，则对于每个排列，有

\begin{array}{c} b_{1 p_{1}} \cdots b_{i p_{i}} \cdots b_{j p_{j}} \cdots b_{n p_{n}}=a_{1 p_{1}} \cdots a_{i p_{i}} \cdots\left(a_{j p_{j}}+\alpha a_{i p_{j}}\right) \cdots a_{n p_{n}} \\ =a_{1 p_{1}} \cdots a_{i p_{i}} \cdots a_{j p_{j}} \cdots a_{n p_{n}}+\alpha\left(a_{1 p_{1}} \cdots a_{i p_{i}} \cdots a_{i p_{j}} \cdots a_{n p_{n}}\right) \end{array}

因此，

\begin{aligned} \operatorname{det}(\mathbf{B}) &=\sum_{p} \sigma(p) a_{1 p_{1}} \cdots a_{i p_{i}} \cdots a_{j p_{j}} \cdots a_{n p_{n}} \\ &+\alpha \sum_{p} \sigma(p) a_{1 p_{1}} \cdots a_{i p_{i}} \cdots a_{i p_{j}} \cdots a_{n p_{n}} \end{aligned}

上式右侧的第一项是，而第二项是矩阵的行列式的展开，其中和行相同。对于这种矩阵，有，因为由类型 I 得，当和行互换时，行列式的符号就会反转，因此。

因此，右侧的第二项为零，得。❏

初等矩阵的行列式

现在可以评估与三种初等变换中的任何一种相关的初等矩阵的行列式。令 , 和分别为类型 I，II 和 III 的初等矩阵，这些初等矩阵中的每一个都可以通过对适当大小的单位矩阵执行相关的行（或列）运算来获得。

由上面三角行列式的结果保证了。因此，如果是通过互换中的任意两行（或列）而获得的，则有

\operatorname{det}(\mathbf{E})=-\operatorname{det}(\mathbf{I})=-1

同样，如果通过将中的任何行（或列）乘以来获得，则有，

\operatorname{det}(\mathbf{F})=\alpha \operatorname{det}(\mathbf{I})=\alpha

如果是将中的一行（或列）的倍数与中的另一行（或列）相加的结果，则有，

\operatorname{det}(\mathbf{G})=\operatorname{det}(\mathbf{I})=1

特别的，上面保证了类型 I，II 和 III 的初等矩阵的行列式非零。

如果是类型 I，II 或 III 的初等矩阵，那么对于矩阵，乘积是通过对的行执行与相关的初等变换而得的矩阵。可以得出的结论是，对于每个方阵，有

\begin{aligned} \operatorname{det}(\mathbf{E A}) &=-\operatorname{det}(\mathbf{A})=\operatorname{det}(\mathbf{E}) \operatorname{det}(\mathbf{A}) \\ \operatorname{det}(\mathbf{F A}) &=\alpha \operatorname{det}(\mathbf{A})=\operatorname{det}(\mathbf{F}) \operatorname{det}(\mathbf{A}) \\ \operatorname{det}(\mathbf{G A}) &=\operatorname{det}(\mathbf{A})=\operatorname{det}(\mathbf{G}) \operatorname{det}(\mathbf{A}) \end{aligned}

换句话说，只要是类型 I，II 或 III 的初等矩阵，就有成立。

可以将此结果扩展到任意数量的这类初等矩阵，，，，

\begin{aligned} \operatorname{det}\left(\mathbf{P}_{1} \mathbf{P}_{2} \cdots \mathbf{P}_{k} \mathbf{A}\right) &=\operatorname{det}\left(\mathbf{P}_{1}\right) \operatorname{det}\left(\mathbf{P}_{2} \cdots \mathbf{P}_{k} \mathbf{A}\right) \\[0.5em] &=\operatorname{det}\left(\mathbf{P}_{1}\right) \operatorname{det}\left(\mathbf{P}_{2}\right) \operatorname{det}\left(\mathbf{P}_{3} \cdots \mathbf{P}_{k} \mathbf{A}\right) \\ & \vdots \\ &=\operatorname{det}\left(\mathbf{P}_{1}\right) \operatorname{det}\left(\mathbf{P}_{2}\right) \cdots \operatorname{det}\left(\mathbf{P}_{k}\right) \operatorname{det}(\mathbf{A}) \quad (3) \end{aligned}

从而引出行列式与矩阵可逆性之间的如下关系。

可逆性和行列式

矩阵非奇异当且仅当，

或者等价地有，

矩阵奇异当且仅当。

证明:

用高斯消元法将矩阵经一系列初等变换得到三角矩阵。令为类型 I，II 或 III 的初等矩阵序列，使得

\mathbf{P}_{1} \mathbf{P}_{2} \cdots \mathbf{P}_{k} \mathbf{A}=\mathbf{E}_{\mathbf{A}},

应用上面公式 (3) 可得，

\operatorname{det}\left(\mathbf{P}_{1}\right) \operatorname{det}\left(\mathbf{P}_{2}\right) \cdots \operatorname{det}\left(\mathbf{P}_{k}\right) \operatorname{det}(\mathbf{A})=\operatorname{det}\left(\mathbf{E}_{\mathbf{A}}\right)

由于初等矩阵的行列式不为零，

\begin{array}{l} \operatorname{det}(\mathbf{A}) \neq 0 & \Longleftrightarrow \operatorname{det}\left(\mathbf{E}_{\mathbf{A}}\right) \neq 0 \\[0.5em] & \Longleftrightarrow 所有列主元非零 \\[0.5em] & \Longleftrightarrow \mathbf{A} \; \text{是非奇异的。} \end{array}

5行列式与奇异性

值得注意的是: 行列式的值小接近奇异。

Determinant 的意义就对应这样的性质: 矩阵行列式非零，则非奇异；矩阵行列式为零，则奇异。

可能很容易让人产生这样的想法，即在某种程度上可以衡量矩阵接近奇异的程度。但实际上并不是这样，因为接近奇异的矩阵不一定具有较小的行列式。

例如，当较大时，几乎是奇异矩阵，但是实际上，。

再例如，

\mathbf{A}_{n}=\left[\begin{array}{cccc} .1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & .1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & .1 \end{array}\right]_{\;n \times n}

与任何奇异矩阵都不接近（这里涉及两个矩阵之间的距离），但对于大的，却非常小。

6乘积法则

有些地方也称它为行列式乘法定理，这里我们加上一个扩展，即矩阵块也有类似性质。

1、所有矩阵和，有

。
2、如果和是方阵，则有

。

公式 1 证明:

因为，当是奇异时，则也是奇异的。因此，有

\operatorname{det}(\mathbf{A} \mathbf{B})=0=\operatorname{det}(\mathbf{A}) \operatorname{det}(\mathbf{B})

因此，当为奇异时，结论正确。

如果是非奇异的，则可以将写为 I，II 或 III 类初等矩阵的乘积。

由前面我们提过的高斯-若尔当消元法可得，

\mathbf{G}_{k} \cdots \mathbf{G}_{2} \mathbf{G}_{1} \mathbf{A}=\mathbf{I}

或者，

\mathbf{A}=\mathbf{G}_{1}^{-1} \mathbf{G}_{2}^{-1} \cdots \mathbf{G}_{k}^{-1}=\mathbf{P}_{1} \mathbf{P}_{2} \cdots \mathbf{P}_{k}

因此，得

\begin{aligned} \operatorname{det}(\mathbf{A B}) &=\operatorname{det}\left(\mathbf{P}_{1} \mathbf{P}_{2} \cdots \mathbf{P}_{k} \mathbf{B}\right)\\[0.5em]&=\operatorname{det}\left(\mathbf{P}_{1}\right) \operatorname{det}\left(\mathbf{P}_{2}\right) \cdots \operatorname{det}\left(\mathbf{P}_{k}\right) \operatorname{det}(\mathbf{B})\\[0.5em] &=\operatorname{det}\left(\mathbf{P}_{1} \mathbf{P}_{2} \cdots \mathbf{P}_{k}\right) \operatorname{det}(\mathbf{B})\\[0.5em]&=\operatorname{det}(\mathbf{A}) \operatorname{det}(\mathbf{B}) \end{aligned}

公式 1 证毕。❏

公式 2 证明:

首先考虑特殊情况，由行列式的定义得

\operatorname{det}(\mathbf{X})=\sum_{\sigma(p)} x_{1 j_{1}} x_{2 j_{2}} \cdots x_{r j_{r}} x_{r+1, j_{r+1}} \cdots x_{n, j_{n}}.

然而，

x_{r+1, j_{r+1}} \ldots x_{n, j_{n}}=\left\{\begin{array}{lllll} 1 & \text{如果 } p=\left(\begin{array}{cccc} 1 & \cdots & r & r+1 & \cdots & n \\ j_{1} & \cdots & j_{r} & r+1 & \cdots & n \end{array}\right) \\ 0 & \text {其它情况. } \end{array}\right.

如果表示仅针对前个数的排列，则

\begin{array}{l} \operatorname{det}(\mathbf{X})&=\sum_{\sigma(p)} x_{1 j_{1}} x_{2 j_{2}} \cdots x_{r j_{r}} x_{r+1, j_{r+1}} \cdots x_{n, j_{n}}\\[0.5em]&=\sum_{\sigma\left(p_{r}\right)} x_{1 j_{1}} x_{2 j_{2}} \cdots x_{r j_{r}}=\operatorname{det}(\mathbf{A}) \end{array}

因此，。类似地，。因此有，

\begin{array}{l} \left|\begin{array}{cc} \mathbf{A} & \mathbf{0} \\ \mathbf{0} & \mathbf{D} \end{array}\right|&=\operatorname{det}\left\{\left[\begin{array}{cc} \mathbf{A} & \mathbf{0} \\ \mathbf{0} & \mathbf{I} \end{array}\right]\left[\begin{array}{cc} \mathbf{I} & \mathbf{0} \\ \mathbf{0} & \mathbf{D} \end{array}\right]\right\}\\[0.75em]&=\left|\begin{array}{cc} \mathbf{A} & \mathbf{0} \\ \mathbf{0} & \mathbf{I} \end{array}\right|\left|\begin{array}{cc} \mathbf{I} & \mathbf{0} \\ \mathbf{0} & \mathbf{D} \end{array}\right|\\[0.75em]&=\operatorname{det}(\mathbf{A}) \operatorname{det}(\mathbf{D}) \end{array}

如果和分别是和的分解（先用起来，具体后面介绍），则有

\left[\begin{array}{cc}\mathbf{A} & \mathbf{B} \\ \mathbf{0} & \mathbf{D}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\mathbf{Q}_{A} & \mathbf{0} \\ \mathbf{0} & \mathbf{Q}_{D}\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}\mathbf{R}_{A} & \mathbf{Q}_{A}^{T} \mathbf{B} \\ \mathbf{0} & \mathbf{R}_{D}\end{array}\right]

也是分解。

由三角矩阵的行列式为其对角元素的乘积，可得

\begin{array}{l} \left|\begin{array}{cc} \mathbf{A} & \mathbf{B} \\ \mathbf{0} & \mathbf{D} \end{array}\right| &=\left|\begin{array}{cc} \mathbf{Q}_{A} & \mathbf{0} \\ \mathbf{0} & \mathbf{Q}_{D} \end{array}\right|\left|\begin{array}{cc} \mathbf{R}_{A} & \mathbf{Q}_{A}^{T} \mathbf{B} \\ \mathbf{0} & \mathbf{R}_{D} \end{array}\right|\\[0.95em]&=\operatorname{det}\left(\mathbf{Q}_{A}\right) \operatorname{det}\left(\mathbf{Q}_{D}\right) \operatorname{det}\left(\mathbf{R}_{A}\right) \operatorname{det}\left(\mathbf{R}_{D}\right) \\[0.95em] &=\operatorname{det}\left(\mathbf{Q}_{A} \mathbf{R}_{A}\right) \operatorname{det}\left(\mathbf{Q}_{D} \mathbf{R}_{D}\right)=\operatorname{det}(\mathbf{A}) \operatorname{det}(\mathbf{D}) \end{array}

公式 2 证毕。❏

7小结

行列式有很多性质或者定理，先不一定要掌握那么多，但对于这个最基本乘法定理还是有必要了解一下，

1、对于矩阵和，有

\operatorname{det}(\mathbf{A B})=\operatorname{det}(\mathbf{A}) \operatorname{det}(\mathbf{B})

2、如果和是方阵，则有

\operatorname{det}\left(\begin{array}{ll}\mathbf{A} & \mathbf{B} \\ \mathbf{0} & \mathbf{D}\end{array}\right)=\operatorname{det}(\mathbf{A}) \operatorname{det}(\mathbf{D})

证明方法也有很多，本文结合行列式的定义和初等变换对它作了简单证明。

有人会说怎么证明我并不关心啊，我只想知道这个公式有什么用啊？

的确，如果偏应用，沿着这个思路学习也是可以的。那么，这里把这个问题留给大家，欢迎留言。

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