生活中，我们经常会对比两个事物的相关性，也可以叫做相似度。

• 如果一件事物与另一件事物的相似度比较高，那这两件事物的相关性就比较大。

• 如果一件事物与另一件事物的相似度比较低，那这两件事物的相关性就比较小。

人类会根据自己的经验，很容易的判断两件事物是否相似，或者相似度是多少。那如何让计算机也能够进行这样的判断呢？

1，空间向量模型

我们都知道，计算机并没有思维，它只能理解数字。所以，如果想让计算机理解我们现实世界中的事物，必须先把现实事物转换成数字。

空间向量模型假设，任何事物都可以转换成 N 维空间中的一个点，这个点称为向量，然后通过计算向量之间的距离或夹角，来判断向量的之间相关性，进而判断事物之间的相关性。

• 向量之间的距离越大，事物就越不相关；距离越小就越相关。
• 向量之间的夹角越大，事物就越不相关；夹角越小就越相关。

什么是向量

向量代表了事物的特征。

向量是相对标量而言，标量只是单个数字，没有方向性。向量也叫矢量，由一组数字构成，具有方向性。

例如，用下图中的 x 表示向量，其中 n 表示向量的维度：

2，向量之间的距离

两个向量所对应的两点之间的距离就是向量的距离，距离可以描述不同向量在向量空间中的差异，也就是现实事物之间的差异。

常用的计算距离的方法有四种：

• 麦哈顿距离
• 欧式距离
• 切比雪夫距离
• 闵可夫斯基距离

其中使用最多的是欧氏距离，下面一一介绍。

麦哈顿距离

麦哈顿距离可以理解为街道距离，或者出租车距离。

可以看到下图中，从A 点到B 点，不管是走1线路 还是2线路，距离都是一样的，这个线路的距离就是麦哈顿距离。

二维空间中的两个点A(x1, x2) 和B(y1, y2)，麦哈顿距离的计算公式为：

n 维空间中的两个点A(x1...xn) 和B(y1...yn)，麦哈顿距离的计算公式为：

欧式距离

欧式距离也叫欧几里得距离，比较好理解，就是直线距离。

如下图，A 点到B 点的直线距离就是欧式距离。

对于二维空间中的两个点A(x1, x2) 和B(y1, y2)，欧式距离的计算公式为：

对于n 维空间中的两点A(x1...xn) 和B(y1...yn)，欧式距离的计算公式为：

切比雪夫距离

切比雪夫距离可以类比为在方格中走格子，怎样走的格子数最少。

如下图中，从A 格子走到B 格子，先斜线走，再直线走，最终走的格子数就是切比雪夫距离。

对于二维空间中的两个点A(x1, x2) 和B(y1, y2)，切比雪夫距离的计算公式为：

上面公式的含义是，∣x1 − y1∣ 和 ∣x2 − y2∣ 两者的最大者。

对于n 维空间中的两点A(x1...xn) 和B(y1...yn)，切比雪夫距离的计算公式为：

闵可夫斯基距离

闵可夫斯基距离也叫做闵氏距离，它并不是一种单独的距离，而是上面三种距离的统一。

对于二维空间中的两个点A(x1, x2) 和B(y1, y2)，闵可夫斯基距离的计算公式为：

对于n 维空间中的两点A(x1...xn) 和B(y1...yn)，闵可夫斯基距离的计算公式为：

根据p 取值的不同，闵可夫斯基距离表示不同的距离：

• 当 p=1 时，就是曼哈顿距离；
• 当 p=2 时，就是欧氏距离；
• 当 p 趋近于无穷大的时候，就是切比雪夫距离。

3，向量的长度

向量也是有大小的，向量的大小就是向量的长度。

向量的长度也叫向量的模，它是向量所对应的点到空间原点的距离，通常使用欧氏距离来表示向量的长度。

数学中有一个概念叫做范数，范数常被用来衡量向量的长度。

范数有4 种，分别对应向量的4 种距离：

• L1 范数，用 ||x|| 表示，对应于麦哈顿距离。
• L2 范数，用 ||x||₂ 表示，对应于欧式距离。
• L∞ 范数，用 ||x||_∞ 表示，对应于切比雪夫距离。
• Lp 范数，用 ||x||_p 表示，对应于闵可夫斯基距离。

4，向量的夹角

向量的夹角经常用余弦值表示。

对于二维空间中的两个点A(x1, x2) 和 B(y1, y2)，余弦的计算公式为：

对于n 维空间中的两点A(x1...xn) 和B(y1...yn)，余弦的计算公式为：

夹角的余弦取值范围是[-1, 1]，那么：

• 当两个向量的方向重合时，余弦值最大，为1。
• 当两个向量的方向相反时，余弦值最小，为 -1。
• 余弦值越大，说明夹角越小，两点相距就越近。
• 余弦值越小，说明夹角越大，两点相距就越远。

5，向量距离与夹角的使用

我们可以将向量的距离与夹角展现在同一个N 维坐标系中，如下：

向量的余弦取值范围是[-1, 1]，余弦值越大，表示越相似，正好与相似度成正比。

对于向量之间的距离，通常用欧式距离 ED表示，ED 越小，表示越相似，与相似度成反比，而且ED 的取值范围非常大。

所以通常会将欧式距离进行 1/(ED+1) 归一化处理，用ED' 表示。ED'的取值范围是[0, 1]，并且与相似度成正比：

• 当 ED 为 0 时，ED'值是 1，表示相似度为 1，事物完全相同。
• 当 ED 趋近于无穷大时，ED'值是 0，表示相似度为 0，事物完全不同。

应用空间向量模型的机器学习算法有 K 近邻（KNN）分类、K 均值（K-Means) 聚类等。

6，如何判断文档的相似度

为了让计算机能够判断现实事物的相似度，我们引出了空间向量的概念。

下面我们来看如何使用空间向量，来判断文档相似度。

比如，现在我们有两个中文句子，要判断这两个句子的相似度：

• 句子1：我去过北京，也去过天安门。
• 句子2：我也去过北京，但没去过天安门。

要想将文档转换成向量，首先需要对文档进行分词。

分词

我们可以使用 jieba 对这两个句子进行分词，结果如下：

• 句子1：['我', '去过', '北京', '也', '去过', '天安门']
• 句子2：['我', '也', '去过', '北京', '但', '没', '去过', '天安门']

可以得到所有词的集合：

• 分词集合：['没', '但', '北京', '我', '去过', '天安门', '也']

计算每个句子的分词的词频：

• 句子1：{'没':0, '但':0, '北京':1, '我':1, '去过':1, '天安门':1, '也':1}
• 句子2：{'没':1, '但':1, '北京':1, '我':1, '去过':1, '天安门':1, '也':1}

从而可以得到词频向量：

• 句子1：[0, 0, 1, 1, 1, 1, 1]
• 句子2：[1, 1, 1, 1, 1, 1, 1]

上文中，我们介绍了，可以通过向量的距离或者余弦夹角来度量向量之间的相似度。这里我们使用余弦夹角来计算。我们知道 N 维空间的余弦公式为：

从而可以计算余弦夹角为：

可以看到，最终算出的余弦夹角为 0.85，比较接近1，说明这两个句子还是很相近的。

7，总结

本篇文章主要介绍了以下几点：

• 要想让计算机理解现实世界中的事物，需要将其转换成空间向量的形式。
• 可以通过计算空间向量之间的距离或者夹角，来衡量事物之间的相似度。
• 向量之间的夹角通常使用余弦夹角值。
• 向量之间的距离有4 种，分别是：
  • 麦哈顿距离
  • 欧式距离（最常用）
  • 切比雪夫距离
  • 闵可夫斯基距离
• 案例：如何使用空间向量模型判断文档相似度。

（本节完。）

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