字符串匹配——KMP算法

对于正常的字符串模式匹配，主串长度为m，子串为n，时间复杂度会到达O（m*n），而如果用KMP算法，复杂度将会减少线型时间O（m+n），这已经是非常高效的匹配算法。

设主串为ptr="ababaaababaa";要比较的子串为a=“aab”；

KMP算法用到了next数组，然后利用next数组的值来提高匹配速度，我首先讲一下next数组怎么求，之后再讲匹配方式。

next数组详解

首先是理解KMP算法的第一个难关是next数组每个值的确定。

定义一串字符串

ptr = "ababaaababaa";

next[i]（i从1开始算）代表着，除去第i个数，在一个字符串里面从第一个数到第（i-1）字符串前缀与后缀最长重复的个数。

什么是前缀？

在“aba”中，前缀就是“ab”，除去最后一个字符的剩余字符串。

同理可以理解后缀。除去第一个字符的后面全部的字符串。

在“aba”中，前缀是“ab”，后缀是“ba”，那么两者最长的子串就是“a”；

在“ababa”中，前缀是“abab”，后缀是“baba”，二者最长重复子串是“aba”；

在“abcabcdabc”中，前缀是“abcabcdab”，后缀是“bcabcdabc”，二者最长重复的子串是“abc”；

这里有一点要注意，前缀必须要从头开始算，后缀要从最后一个数开始算，中间截一段相同字符串是不行的。

再回到next[i]的定义，对于字符串ptr = "ababaaababaa";

next[1] = -1,代表着除了第一个元素，之前前缀后缀最长的重复子串，这里是空 ,即""，没有，我们记为-1，代表空。（0代表1位相同，1代表两位相同，依次累加）。

next[2] = -1，即“a”，没有前缀与后缀，故最长重复的子串是空，值为-1；

next[3] = -1，即“ab”，前缀是“a”，后缀是“b”，最长重复的子串“”；

next[4] = 1，即"aba"，前缀是“ab”，后缀是“ba”，最长重复的子串“a”；next数组里面就是最长重复子串字符串的个数

next[5] = 2，即"abab"，前缀是“aba”，后缀是“bab”，最长重复的子串“ab”；

next[6] = 3，即"ababa"，前缀是“abab”，后缀是“baba”，最长重复的子串“aba”；

next[7] = 1，即"ababaa"，前缀是“ababa”，后缀是“babaa”，最长重复的子串“a”；

next[8] = 1，即"ababaaa"，前缀是“ababaa”，后缀是“babaaa”，最长重复的子串“a”；

next[9] = 2，即"ababaaab"，前缀是“ababaaa”，后缀是“babaaab”，最长重复的子串“ab”；

next[10] = 3，即"ababaaaba"，前缀是“ababaaab”，后缀是“babaaaba”，最长重复的子串“aba”；

next[11] = 4，即"ababaaabab"，前缀是“ababaaaba”，后缀是“babaaabab”，最长重复的子串“abab”；

next[12] = 5，即"ababaaababa"，前缀是“ababaaabab”，后缀是“babaaaababa”，最长重复的子串“ababa”；

Next[j]已知 求next[j+1]两步：

1 若串中字符tj =ti ，则next[i+1]=j+1 ,j为当前最长相等前后缀长度（不是全局）

2若tj ！= ti  将 ti-j+1........ti作为主串，t1......tj作为子串，类比于失配让j=next[j] 继续比较，若满足1则求得next[j+1]。如abcdcd  串中每次前缀都是从a开始的，所以只要每次不断失配后j能跳到a，则表明回跳是对的，后缀一样。

求next数组代码

void Getnex(string m)//对kmp数组的构造{ nex[0]=-1; int k=-1,j=0; while(j<m.size()) { if(k==-1||m[k]==m[j]) { k++;j++; nex[j]=k; }else k=nex[k]; }}

匹配方法

next数组求值 是比较麻烦的，剩下的匹配方式就很简单了。

next数组用于子串身上，根据上面的原理，我们能够推出子串a=“aab”的next数组的值分别为0,1,2.

首先开始计算主串与子串的字符，设置主串用i来表示，子串用j来表示，如果ptr[i]与a[i]相等，那么i与j就都加1：

prt[1]与a[1]相等，i++，j++：

用代码实现就是

if( j==0 || ptr[i]==a[j]){ ++i; ++j;}

ptr[2]与a[2]不相等

此时ptr[2]!=a[2]，那么令j = next[j]，此时j=2，那么next[j] = next[2] = 1.那么此时j就等于1.这一段判断用代码解释的话就是：

if( ptr[i]!=a[j]){ j = next[j];}

加上上面的代码进行组合：

在对两个数组进行比对时，各自的i，j取值代码：

while( i<ptr.length && j< a.length){ if( j==0 || ptr[i]==a[i] ) { ++i; ++j; next[i] = j; } else { j = next[j]; }}

此时将a[j]置于j此时所处的位置，即a[1]放到j=2处，因为在j=2时出现不匹配的情况。

此时再次计算是否匹配，可以看出来a[1]!=ptr[2],那么j = next[j]，即此时j = next[1] = 0;

根据上面的代码，当j=0时，执行++i；++j；

此时就变为：

此时ptr[3] = a[1],继续向下走，下一个又不相等了，然后“aab”向后挪一位，这里不再赘述了，主要的思想已经讲明白了。到最后一直到i = 8，j=3时匹配成功，KMP算法结束。整个过程就结束了。

代码

#include<bits/stdc++.h>bool SUBMIT = false;using namespace std;const int inf = 1000;int nex[inf];string s,h;void Getnex(string m)//对kmp数组的构造{ nex[0]=-1; int k=-1,j=0; while(j<m.size()) { if(k==-1||m[k]==m[j]) { k++;j++; nex[j]=k; }else k=nex[k]; }}int kmp()//用kmp进行匹配{ int k=0,j=0; while(j<h.size()) { if(k==-1||s[k]==h[j]) { k++;j++; }else{ k=nex[k]; cout<<k<<" "<<j<<endl; } if(k == s.size()) return j-k; } return -1;}int main(){ cin>>h>>s; cout<<h<<endl<<s<<endl; Getnex(s); for(int i=0;i<s.size();i++) cout<<nex[i]; cout<<endl; int ans=kmp();    cout<<ans<<endl; return 0;}