1什么是熵？

首先，本文指的熵是指信息熵。想要明白熵的确切含义，先让我们了解一下信息论的一些基础知识。在这个数字时代，信息由位（即比特，由 0 和 1）组成。在通信时，有些位是有用的，有些是冗余的，有些是错误，依此类推。当我们传达信息时，我们希望向收件人发送尽可能多的有用信息。

在 Claude Shannon 的论文《通信的数学理论》（1948）中，他指出，传输 1 比特的信息意味着将接收者的不确定性降低 2 倍。

让我们来看看他说的意思。例如，考虑一个天气状况随机的地方，每天可能有 50% 的机率是晴天或阴雨。

现在，如果气象站告诉你明天要下雨，那么他们将不确定性降低了 2 倍。起初，有两种可能，但在收到气象站的信息后，就只有一种可能了。在这里，气象站向我们发送了一点点有用的信息，无论他们如何编码这些信息，这都是事实。

即使发送的信息是多雨（Rainy），并且每个字符占用一个字节，消息总的大小也相当于 40 比特，但是它们仍然只传达了 1 比特的有用信息。

假设天气有 8 种可能的状态，所有可能性都相同。

现在，当气象站为你提供第二天的天气时，它们会将不确定性降低了 8 倍。由于每个事件的发生机率为 1/8，因此降低因子为 8。

但是，如果不同天气的可能性不一样该怎么办呢？

假设有 75％ 的概率是晴天，25％ 的概率是下雨。

现在，如果气象站说第二天要下雨，那么不确定性就会降低 4 倍，即 2 个比特信息。减少的不确定性是事件概率的倒数。在这种情况下，25％ 的倒数是 4，以 2 为底的 得到 2。因此，我们得到 2 个比特的有用信息。

解读

• 原来凭空猜下雨，你只有 1/4 把握，得到天气预报后现在的把握是 1 了。确定性提升到 4 倍，或者说不确定性降低到 4 倍。
• 原来猜晴天，你有 3/4 把握，得到天气预报后现在的把握是 1 了。确定性提升到 4/3 倍，或者说不确定性降低到 4/3 倍。

2信息熵

我们经常会说，某个新闻的信息量好大。那么这个信息量到底怎么定义呢？所含的文字？所表达的内容？貌似并不好定义。

可以这么来理解，对某个事件由不确定到确定就得到了所谓的信息量，那么如何来量化它呢？即这个信息量到底有多大呢？这个就需要对不确定到确定这个转化作量化了。首先看看怎么量化不确定性。通过前文我们知道，事件概率越大，不确定性自然就越小，再结合事件是独立的这个前提。信息量应该满足下面这些条件，

• 信息量跟事件的概率值成反比，即 。概率越大的事件确定性越大，因此由不确定到确定的转化所含的信息量越小。
• 两个独立事件所对应的信息量应等于各自信息量之和，因为相互不影响，所谓的可加性，即 。

满足这两个条件的常见函数有吗？答案是肯定的，比如

这个正是 Shannon 采用的函数。来一小段 Python 代码绘制一下这个函数，

# compare probability vs information entropy
from math import log2
from matplotlib import pyplot
# list of probabilities
probs = [0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5, 0.6, 0.7, 0.8, 0.9, 1.0]
# calculate information
info = [-log2(p) for p in probs]
# plot probability vs information
pyplot.plot(probs, info, marker='.')
pyplot.title('Probability vs Information')
pyplot.xlabel('Probability')
pyplot.ylabel('Information')
pyplot.show()

结果见下图，对照一下图像来更好地理解一下这个函数吧。

好了，接下来我们就用这个函数来计算信息熵。熵，从数学上看，衡量的是一种期望值，即随机变量多次试验后所传递的信息量的平均值。假设离散随机变量对应的分布为 ，那么该离散随机变量的信息熵定义为，

这里用的都是以 2 为底的对数，也因此信息量对应的单位称为比特（bit）。下面我们回到前文的例子。

如果气象站说第二天是晴天，那么我们将获得 0.41 比特的信息量。因此，平均而言，我们将从气象站获得多少信息量呢？

好吧，明天有 75％ 的机率是晴天，这会给你 0.41 比特的信息，明天有 25％ 的机率会下雨，它为给你提供 2 比特的信息，对应于下图

平均而言，我们每天从气象站获得 0.81 比特的信息。因此，我们把刚刚计算出的平均值称为信息熵。这很好地衡量了事件的不确定性。

希望熵的公式现在完全有了意义。它衡量的是你每天收到天气预报时得到的平均信息量。通常，它给出了我们从给定的概率分布 抽取的一个样本中获得的平均信息量。它告诉我们某个概率分布对应的随机变量有多么不可预测，即它的不确定程度。

如果我们生活在每天阳光明媚的沙漠中，平均来说，每天我们不会从气象站获得太多信息。熵值将接近于零。另一方面，如果每天的天气情况变化很大，熵值将很大。

3交叉熵

现在，让我们谈谈交叉熵。可以将它看成平均信息长度。比如上面例子中，考虑到有 8 种可能的天气状况，它们的可能性均等，可以使用 3 个比特的信息对每种状况来编码。

如图所示，这里的平均信息长度为 3，这就是这个例子的交叉熵。

但是现在，假设你住在阳光充足的地区，天气的概率分布并不均匀，具体如下图所示，

每天都有 35％ 的机率是晴天，雷雨的可能性只有 1％。因此，我们可以计算该概率分布的熵，得，

请注意，此处使用的是以 2 为底的对数。

因此，气象站平均发送 3 个比特信息，但是接收者仅获得 2.23 个有用的比特信息。那么，是不是说明我们还可以做得更好呢？

例如，像下面这样来更改编码，

现在，我们只使用 2 个比特信息表示晴天或部分晴天，使用 3 个比特信息表示多云和大部分多云，使用 4 个比特信息表示中雨和小雨，使用 5 个比特信息表示大雨和雷暴。对天气坐这样的编码方式是不会引起歧义的，例如，你链接多条消息，则只有一种方法可以解释比特流。例如，01100 只能表示部分晴天（01），然后是小雨（100）。因此，如果我们计算该站每天发送的平均比特数，则可以得出，

这是我们新的和改进的交叉熵，它比以前的 3 个比特更好。现在，假设我们在不同的地方使用相同的代码，那儿的天气是相反的，多雨。

现在，如果我们计算交叉熵，

我们得到 4.58 个比特，大约是熵的两倍。平均而言，该站发送 4.58 个比特信息，但只有 2.23 个比特信息对接收者来说是有用的。每条消息发送的信息量是必要信息的两倍。这是因为我们使用的代码对天气分布做出了一些隐含的假设。例如，当我们在晴天使用 2 个比特信息时，我们含蓄地预测了晴天的概况为 25％。这是因为 。

同样，我们计算所有的天气情况。

分母中 2 的幂对应于用于传输信息的比特数。很明显，预测分布 与真实分布 完全不同。

因此，现在我们可以将交叉熵（ ）表示为真实概率分布 和预测概率分布 的函数 ，具体公式为，

请注意，本示例中使用的对数均是以 2 为底的。

正如你所见，除了我们在这里使用预测概率的对数外，它看起来与熵的等式非常相似。如果我们的预测是完美的，那就是预测分布等于真实分布，那么交叉熵就等于熵。但是，如果分布不同，交叉熵就会比熵更大一些，因为多了一些比特。交叉熵超过熵的数量，被称为相对熵，或更通常称为 Kullback-Leibler Divergence（KL-散度）。总结一下，简而言之，

从上面的例子中，我们得到

4应用

现在，让我们在实际应用中来用一用交叉熵。比如，我们正在训练一个图像分类器，对看起来比较相似的不同动物进行分类，例如浣熊啊、小熊猫啊、狐狸之类等等。

因此，对于可能的 7 个类别中的每一个类别，分类器会分别给出一个概率，即所谓的预测分布。由于这是有监督的学习问题，因此我们是知道真实分布的。

在上面的示例中，我拍了一只浣熊的照片，因此在真实分布中，浣熊类的概率应该为 100％，其他类的概率为 0。我们可以将这两个分布之间的交叉熵作为成本函数，称为交叉熵损失。

这只是我们前面看到的等式，除了它通常使用自然对数而不是 以 2 为底的对数。对于训练而言，这无关紧要，因为以 2 为底的对数 与自然对数之间的转换关系为 ，其中分母是常数。注意，本文其他地方如没有特别说明， 都是指以 2 为底的对数。

因此，当类别概率被称为一个独热编码向量（这意味着一个类别具有 100％ 概率，其余类别均为 0%）时，交叉熵只是真实类别的估计概率的负对数。

在这个例子中，交叉熵为

现在，你可以看到，当对真实类别的预测概率接近 0 时，成本函数可能会非常大。但是，当预测概率接近 1 时，成本函数将接近 0。因此，我们需要对每个类使用更多的例子来训练分类器，以减少损失。

5小结

我们以气象站更新第二天的天气为例，了解了香农信息理论的概念。然后我们将其与熵、交叉熵相关联。最后，我们使用一个例子看了下交叉熵损失函数的实际用法。我希望本文能帮大家弄清熵、交叉熵和 KL-散度以及他们之间的联系。

- 完 -

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