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前言
本篇文章收录于专辑：http://dwz.win/HjK，点击解锁更多数据结构与算法的知识。
你好，我是彤哥，一个每天爬二十六层楼还不忘读源码的硬核男人。
前面几节，我们一起学习了算法的复杂度如何分析，并从最坏、平均、最好以及不能使用最坏情况全方位无死角的剖析了算法的复杂度，在我们表示复杂度的时候，通常使用大O来表示。
但是，在其他书籍中，你可能还见过Θ、Ω、o、ω等符号。
那么，这些符号又是什么意思呢？
本节，我们就来解决这个问题。
读音
我们先来纠正一波读音：
- O，/əʊ/，大Oh
- o，/əʊ/，小oh
- Θ，/ˈθiːtə/，theta
- Ω，/oʊˈmeɡə/，大Omega
- ω，/oʊˈmeɡə/，小omega
是不是跟老师教得不太一样^^
数学解释
Θ
Θ定义了一种精确的渐近行为（exact asymptotic behavior），怎么说呢？
用函数来表示：
对于f(n)，存在正数n0、c1、c2，使得当 n>=n0 时，始终存在 0 <= c1*g(n) <= f(n) <= c2*g(n)，则我们可以用 f(n)=Θ(g(n))表示。
用图来表示：
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Θ同时定义了上界和下界，f(n)位于上界和下界之间，且包含等号。
比如说，f(n) = 2n^2+3n+1 = Θ(n^2)，此时，g(n)就是用f(n)去掉低阶项和常数项得来的，因为肯定存在某个正数n0、c1、c2，使得 0 <= c1*n^2 <= 2n^2+3n+1 <= c2*n^2，当然，你说g(n)是2*n^2也没问题，所以，g(n)实际上满足这个条件的一组函数。
好了，如果Θ你能理解了，下面四个就好理解了。
O
O定义了算法的上界。
用函数来表示：
对于f(n)，存在正数n0、c，使得当 n>=n0 时，始终存在 0 <= f(n) <= c*g(n)，则我们可以用 f(n)=O(g(n))表示。
用图来表示：
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O只定义上界，只要f(n)不大于c*g(n)，就可以说 f(n)=O(g(n))。
比如说，对于插入排序，我们说它的时间复杂度是O(n^2)，但是，如果用Θ来表示，则必须分成两条：
- 最坏的情况下，它的时间复杂度为Θ(n^2)；
- 最好的情况下，它的时间复杂度为Θ(n)。
这里的n^2只是g(n)这一组函数中最小的上界，当然，g(n)也可以等于n^3。
不过，我们一般说复杂度都是指的最小的上界，比如，这里插入排序的时间复杂度如果说是O(n^3)，从理论上来说，也没问题，只是不符合约定罢了。
插入排序最好的情况就是数组本身就是有序的。
o
o定义的也是算法的上界，不过它不包含等于，是一种不精确的上界，或者称作松上界（某些书籍翻译为非紧上界）。
用函数来表示：
对于f(n)，存在正数n0、c，使得当 n>n0 时，始终存在 0 <= f(n) < c*g(n)，则我们可以用 f(n)=o(g(n))表示。
用图来表示：
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o表示仅仅是大O去掉等于的情况，其他行为与大O一模一样。
Ω
Ω定义了算法的下界，与O正好相反。
用函数来表示：
对于f(n)，存在正数n0、c，使得当 n>=n0 时，始终存在 0 <= c*g(n) <= f(n)，则我们可以用 f(n)=Ω(g(n))表示。
用图来表示：
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Ω只定义下界，只要f(n)不小于c*g(n)，就可以说 f(n)=Ω(g(n))。
比如，对于插入排序，我们可以说它的时间复杂度为Ω(n)，不过，这通常没有什么意义，因为插入排序在最好的情况下很少，基本都是在最坏情况或者平均情况。
ω
ω同样定义的是下界，只不过不包含等于，是一种不精确的下界，或者称作松下界（某些书籍翻译为非紧下界）。
用函数来表示：
对于f(n)，存在正数n0、c，使得当 n>n0 时，始终存在 0 <= c*g(n) < f(n)，则我们可以用 f(n)=ω(g(n))表示。
用图来表示：
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ω表示仅仅是大Ω去掉等于的情况，其他行为与大Ω一模一样。
通俗理解
| 符号 |
含义 |
通俗理解 |
| Θ |
精确的渐近行为 |
相当于“=” |
| O |
上界 |
相当于“<=” |
| o |
松上界 |
相当于“<” |
| Ω |
下界 |
相当于“>=” |
| ω |
松下界 |
相当于“>” |
小结
为了帮助同学们快速查阅英文资料，彤哥特地把这几节涉及到的英语单词汇总了一下：
| 汉语 |
英文 |
| 复杂度 |
complexity |
| 时间复杂度 |
time complexity |
| 空间复杂度 |
space complexity |
| 渐近分析 |
asymptotic analysis |
| 最坏情况 |
the worst case |
| 最好情况 |
the best case |
| 平均情况 |
the average case |
| 精确的渐近行为 |
exact asymptotic behavior |
| 低阶项 |
low order terms |
| 常数项（前置常数） |
leading constants |
| 松上界 |
loose upper-bound |
后记
本节，我们分别从读音、数学、通俗理解等三个方面阐述了Θ、O、o、Ω、ω的含义，并在最后给出了这几节涉及到的术语对应的英文，有了这些英文，你也可以快速地查阅这方面的资料。
不过，在我们平时与人交流的过程中，大家还是习惯于使用大O表示法，一来它表示最坏情况，最坏情况通常可以直接代表算法的复杂度，二来它比较好书写。
所以，我们只需要记住大O就可以了，只不过在别人提到Θ、Ω、ω我们知道是什么含义就可以了。
前面几节讲了这么多，其实，还是只涉及了很简单的算法复杂度。
那么，常见的算法复杂度有哪些呢？
下一节，我们接着聊。
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