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前言

前段时间，遇到优化计算斐波那契数列的常规递归方法，但是一时间并没有及时想到很好的方法，所以后面查找了相关资料，总结了多种计算解法，所以分享出来，和大家一起交流学习。

斐波那契数是什么

斐波那契数列（Fibonacci sequence），又称黄金分割数列、因数学家列昂纳多·斐波那契（Leonardoda Fibonacci）以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、……在数学上，斐波那契数列以如下被以递推的方法定义：F(1)=1，F(2)=1, F(n)=F(n - 1)+F(n - 2)（n ≥ 3，n ∈ N*）。

知道了斐波那契数，那么下面我们就用多种不同的方法来计算获取第N位斐波那契数。

普通递归

这种方法是最常规的，直接根据定义F(n)=F(n - 1)+F(n - 2)递归计算即可，但是性能是最低的。

/**
 * 普通递归
 * @param int $n
 * @return int
 */
function fib($n = 1)
{
    // 低位处理
    if ($n < 3) {
        return 1;
    }
    // 递归计算前两位
    return fib($n - 1) + fib($n - 2);
}

递归优化

从上面的递归方法可以看到，进行了很多的重复计算，性能极差，如果N越大，计算的次数太可怕了，那么，既然因为重复计算影响了性能，那么优化就从减少重复计算入手，即把之前计算的存储起来，这样就避免了过多的重复计算，优化了递归算法。

/**
 * 递归优化
 * @param int $n
 * @param int $a
 * @param int $b
 * @return int
 */
function fib_2($n = 1, $a = 1, $b = 1)
{
    if ($n > 2) {
        // 存储前一位，优化递归计算
        return fib_2($n - 1, $a + $b, $a);
    }
    return $a;
}

记忆化自底向上

自底向上通过迭代计算斐波那契数的子问题并存储已计算的值，通过已计算的值进行计算。使用for循环，减少递归带来的重复计算问题。

/**
 * 记忆化自底向上
 * @param int $n
 * @return int
 */
function fib_3($n = 1)
{
    $list = [];
    for ($i = 0; $i <= $n; $i++) {
        // 从低到高位数，依次存入数组中
        if ($i < 2) {
            $list[] = $i;
        } else {
            $list[] = $list[$i - 1] + $list[$i - 2];
        }
    }
    // 返回最后一个数，即第N个数
    return $list[$n];
}

自底向上进行迭代

最低位初始化赋值，使用for从低位到高位迭代计算，从而得到第N个数。
/**
 * 自底向上进行迭代
 * @param int $n
 * @return int
 */
function fib_4($n = 1)
{
    // 低位处理
    if ($n <= 0) {
        return 0;
    }
    if ($n < 3) {
        return 1;
    }
    $a = 0;
    $b = 1;
    // 循环计算
    for ($i = 2; $i < $n; $i++) {
        $b = $a + $b;
        $a = $b - $a;
    }
    return $b;
}

公式法

通过了解斐波那契序列和黄金分割比之间的关系，使用黄金分割率计算第N个斐波那契数。

/**
 * 公式法
 * @param int $n
 * @return int
 */
function fib_5($n = 1)
{
    // 黄金分割比
    $radio = (1 + sqrt(5)) / 2;
    // 斐波那契序列和黄金分割比之间的关系计算
    $num = intval(round(pow($radio, $n) / sqrt(5)));
    return $num;
}

无敌欠揍法

这个方法，我就不多说了吧，大家都懂的，但是千万别轻易尝试……

/**
 * 无敌欠揍法
 * @param int $n
 * @return int
 */
function fib_6($n = 1)
{
    // 列举了30个数
    $list = [1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657, 46368, 75025, 121393, 196418, 317811, 514229, 832040, 1346269];
    return $list[$n];
}

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原文发布时间：2020-07-08
本文作者：gxcuizy
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