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——异步小编

多年来，我有一个梦想，希望每一位提到算法的人，不再立即紧皱眉头，脑海闪现枯燥的公式、冗长的代码；希望每一位阅读和使用算法的人，体会到算法之美，像躺在法国普罗旺斯小镇的长椅上，呷一口红酒，闭上眼睛，体会舌尖上的美味，感受鼻腔中满溢的薰衣草的芳香……

 

打开算法之门​

瑞士著名的科学家N.Wirth教授曾提出：数据结构+算法=程序。

数据结构是程序的骨架，算法是程序的灵魂。

在我们的生活中，算法无处不在。我们每天早上起来，刷牙、洗脸、吃早餐，都在算着时间，以免上班或上课迟到；去超市购物，在资金有限的情况下，考虑先买什么、后买什么，算算是否超额；在家中做饭，用什么食材、调料，做法、步骤，还要品尝一下咸淡，看看是否做熟。所以，不要说你不懂算法，其实你每天都在用！

但是对计算机专业算法，很多人都有困惑：“I can understand, but I can’tuse！”，我能看懂，但不会用！就像参观莫高窟的壁画，看到它、感受它，却无法走进。我们正需要一把打开算法之门的钥匙，就如陶渊明《桃花源记》中的“初极狭，才通人。复行数十步，豁然开朗。”

打开算法之妙不可言——算法复杂性

我们首先看一道某跨国公司的招聘试题。

写一个算法，求下面序列之和：

-1，1，-1，1，…，(-1)n

当你看到这个题目时，你会怎么想？for语句？while循环？

先看算法1-1：

 

​这段代码可以实现求和运算，但是为什么不这样算?！

 

​再看算法1-2：

 

​有的人看到这个代码后恍然大悟，原来可以这样啊？这不就是数学家高斯使用的算法吗？

 

​一共50对数，每对之和均为101，那么总和为：

（1+100）×50=5050

1787年，10岁的高斯用了很短的时间算出了结果，而其他孩子却要算很长时间。

可以看出，算法1-1需要运行n+1次，如果n=100 00，就要运行100 01次，而算法1-2仅仅需要运行1次！是不是有很大差别？

高斯的方法我也知道，但遇到类似的题还是……我用的笨办法也是算法吗？

答：是算法。

算法是指对特定问题求解步骤的一种描述。

算法只是对问题求解方法的一种描述，它不依赖于任何一种语言，既可以用自然语言、程序设计语言（C、C++、Java、Python等）描述，也可以用流程图、框图来表示。一般为了更清楚地说明算法的本质，我们去除了计算机语言的语法规则和细节，采用“伪代码”来描述算法。“伪代码”介于自然语言和程序设计语言之间，它更符合人们的表达方式，容易理解，但不是严格的程序设计语言，如果要上机调试，需要转换成标准的计算机程序设计语言才能运行。

算法具有以下特性。

（1）有穷性：算法是由若干条指令组成的有穷序列，总是在执行若干次后结束，不可能永不停止。

（2）确定性：每条语句有确定的含义，无歧义。

（3）可行性：算法在当前环境条件下可以通过有限次运算实现。

（4）输入输出：有零个或多个输入，一个或多个输出。

算法1-2的确算得挺快的，但如何知道我写的算法好不好呢？

“好”算法的标准如下。

（1）正确性：正确性是指算法能够满足具体问题的需求，程序运行正常，无语法错误，能够通过典型的软件测试，达到预期的需求。

（2）易读性：算法遵循标识符命名规则，简洁易懂，注释语句恰当适量，方便自己和他人阅读，便于后期调试和修改。

（3）健壮性：算法对非法数据及操作有较好的反应和处理。例如，在学生信息管理系统中登记学生年龄时，若将21岁误输入为210岁，系统应该提示出错。

（4）高效性：高效性是指算法运行效率高，即算法运行所消耗的时间短。算法时间复杂度就是算法运行需要的时间。现代计算机一秒钟能计算数亿次，因此不能用秒来具体计算算法消耗的时间，由于相同配置的计算机进行一次基本运算的时间是一定的，我们可以用算法基本运算的执行次数来衡量算法的效率。因此，将算法基本运算的执行次数作为时间复杂度的衡量标准。

（5）低存储性：低存储性是指算法所需要的存储空间低。对于像手机、平板电脑这样的嵌入式设备，算法如果占用空间过大，则无法运行。算法占用的空间大小称为空间复杂度。

除了（1）～（3）中的基本标准外，我们对好的算法的评判标准就是高效率、低存储。

（1）～（3）中的标准都好办，但时间复杂度怎么算呢？

时间复杂度：算法运行需要的时间，一般将算法的执行次数作为时间复杂度的度量标准。

看算法1-3，并分析算法的时间复杂度。

 

​把算法的所有语句的运行次数加起来：1+1+n+n+n×n+n×n，可以用一个函数T(n)表达：

 

​当n足够大时，例如

 

​时，

 

​，我们可以看到算法运行时间主要取决于第一项，后面的甚至可以忽略不计。

用极限表示为：

  移除点击此处添加图片说明文字

​，C为不等于0的常数

如果用时间复杂度的渐近上界表示，如图1-1所示。

从图1-1中可以看出，当n≥n0时，T(n)≤Cf (n)，当n足够大时，T(n)和f (n)近似相等。因此，我们用О(f (n))来表示时间复杂度渐近上界，通常用这种表示法衡量算法时间复杂度。算法1-3的时间复杂度渐近上界为

 

​，用极限表示为：

 

​

 

​图1-1　渐近时间复杂度上界

还有渐近下界符号Ω(T(n)≥Cf (n))，如图1-2所示。

 

​图1-2　渐近时间复杂度下界

从图1-2可以看出，当n≥n0时，T(n)≥Cf (n)，当n足够大时，T(n)和f (n)近似相等，因此，我们用Ω(f (n))来表示时间复杂度渐近下界。

渐近精确界符号

 

​，如图1-3所示。

 

​从图1-3中可以看出，当n≥n0时，

  移除点击此处添加图片说明文字

，当n足够大时，T(n)和f (n)近似相等。这种两边逼近的方式，更加精确近似，因此，用Θ (f (n))来表示时间复杂度渐近精确界。

 

​图1-3　渐进时间复杂度精确界

我们通常使用时间复杂度渐近上界О(f (n))来表示时间复杂度。

看算法1-4，并分析算法的时间复杂度。

 

​观察算法1-4，无法立即确定while 及i=i*2运行了多少次。这时可假设运行了x次，每次运算后i值为2，22，23，…，2x，当i=n时结束，即2x＝n时结束，则x=log2n，那么算法1-4的运算次数为1+2log2n，时间复杂度渐近上界为О(f (n))＝О(log2n)。

在算法分析中，渐近复杂度是对算法运行次数的粗略估计，大致反映问题规模增长趋势，而不必精确计算算法的运行时间。在计算渐近时间复杂度时，可以只考虑对算法运行时间贡献大的语句，而忽略那些运算次数少的语句，循环语句中处在循环内层的语句往往运行次数最多，即为对运行时间贡献最大的语句。例如在算法1-3中，total=total+i*j是对算法贡献最大的语句，只计算该语句的运行次数即可。

注意：不是每个算法都能直接计算运行次数。

例如算法1-5，在a[n]数组中顺序查找x，返回其下标i，如果没找到，则返回-1。

 

​我们很难计算算法1-5中的程序到底执行了多少次，因为运行次数依赖于x在数组中的位置，如果第一个元素就是x，则执行1次（最好情况）；如果最后一个元素是x，则执行n次（最坏情况）；如果分布概率均等，则平均执行次数为（n+1）/2。

有些算法，如排序、查找、插入等算法，可以分为最好、最坏和平均情况分别求算法渐近复杂度，但我们考查一个算法通常考查最坏的情况，而不是考查最好的情况，最坏情况对衡量算法的好坏具有实际的意义。

我明白了，那空间复杂度应该就是算法占了多大存储空间了？

空间复杂度：算法占用的空间大小。一般将算法的辅助空间作为衡量空间复杂度的标准。

空间复杂度的本意是指算法在运行过程中占用了多少存储空间。算法占用的存储空间包括：

（1）输入/输出数据；

（2）算法本身；

（3）额外需要的辅助空间。

输入/输出数据占用的空间是必需的，算法本身占用的空间可以通过精简算法来缩减，但这个压缩的量是很小的，可以忽略不计。而在运行时使用的辅助变量所占用的空间，即辅助空间是衡量空间复杂度的关键因素。

看算法1-6，将两个数交换，并分析其空间复杂度。

 

​两数的交换过程如图1-4所示。

 

​图1-4　两数交换过程

图1-4中的步骤标号与算法1-6中的语句标号一一对应，该算法使用了一个辅助空间temp，空间复杂度为О(1)。

注意：递归算法中，每一次递推需要一个栈空间来保存调用记录，因此，空间复杂度需要计算递归栈的辅助空间。

看算法1-7，计算n的阶乘，并分析其空间复杂度。

 

​阶乘是典型的递归调用问题，递归包括递推和回归。递推是将原问题不断分解成子问题，直到达到结束条件，返回最近子问题的解；然后逆向逐一回归，最终到达递推开始的原问题，返回原问题的解。

思考：试求5的阶乘，程序将怎样计算呢？

5的阶乘的递推和回归过程如图1-5和图1-6所示。

 

​图1-5　5的阶乘递推过程

 

​图1-6　5的阶乘回归过程

图1-5和图1-6的递推、回归过程是我们从逻辑思维上推理，用图的方式形象地表达出来的，但计算机内部是怎样处理的呢？计算机使用一种称为“栈”的数据结构，它类似于一个放一摞盘子的容器，每次从顶端放进去一个，拿出来的时候只能从顶端拿一个，不允许从中间插入或抽取，因此称为“后进先出”（last in first out）。

5的阶乘进栈过程如图1-7所示。

 

​图1-7　5的阶乘进栈过程5的阶乘出栈过程如图1-8所示。

 

​

​图1-8　5的阶乘出栈过程

从图1-7和图1-8的进栈、出栈过程中，我们可以很清晰地看到，首先把子问题一步步地压进栈，直到得到返回值，再一步步地出栈，最终得到递归结果。在运算过程中，使用了n个栈空间作为辅助空间，因此阶乘递归算法的空间复杂度为О(n)。在算法1-7中，时间复杂度也为О(n)，因为n的阶乘仅比n-1的阶乘多了一次乘法运算，fac(n)=n*fac(n-1)。如果用T(n)表示fac(n)的时间复杂度，可表示为：

T(n)= T(n-1)+1

　　　　　　　　　　　　　　　　　　= T(n-2)+1+1

　　　　　　　　　　　　　　　　　　……

　　　　　　　　　　　　　　　　　　= T(1)+…+1+1

　　　　　　　　　　　　　　　　　　=n

美不胜收——魔鬼序列

趣味故事1-1：一棋盘的麦子

有一个古老的传说，有一位国王的女儿不幸落水，水中有很多鳄鱼，国王情急之下下令：“谁能把公主救上来，就把女儿嫁给他。”很多人纷纷退让，一个勇敢的小伙子挺身而出，冒着生命危险把公主救了上来，国王一看是个穷小子，想要反悔，说：“除了女儿，你要什么都可以。”小伙子说：“好吧，我只要一棋盘的麦子。您在第1个格子里放1粒麦子，在第2个格子里放2粒，在第3个格子里放4粒，在第4个格子里放8粒，以此类推，每一格子里的麦子粒数都是前一格的两倍。把这64个格子都放好了就行，我就要这么多。”国王听后哈哈大笑，觉得小伙子的要求很容易满足，满口答应。结果发现，把全国的麦子都拿来，也填不完这64格……国王无奈，只好把女儿嫁给了这个小伙子。

解析

棋盘上的64个格子究竟要放多少粒麦子？

把每一个放的麦子数加起来，总和为S，则：

S=1+21+22+23+…+263　　 ①

我们把式①等号两边都乘以2，等式仍然成立：

2S=21+22+23+…+263+264　　 ②

式 ②减去式①，则：

S=264-1 ＝18 446 744 073 709 551 615

据专家统计，每个麦粒的平均重量约41.9毫克，那么这些麦粒的总重量是：

　　　18 446 744 073 709 551 615×41.9＝772 918 576 688 430 212 668.5（毫克）≈7729（亿吨）

全世界人口按60亿计算，每人可以分得128吨！

我们称这样的函数为爆炸增量函数，想一想，如果算法时间复杂度是О(2n) 会怎样？随着n的增长，这个算法会不会“爆掉”？经常见到有些算法调试没问题，运行一段也没问题，但关键的时候宕机（shutdown）。例如，在线考试系统，50个人考试没问题，100人考试也没问题，如果全校1万人考试就可能出现宕机。

注意：宕机就是死机，指电脑不能正常工作了，包括一切原因导致的死机。计算机主机出现意外故障而死机，一些服务器（如数据库）死锁，服务器的某些服务停止运行都可以称为宕机。

常见的算法时间复杂度有以下几类。

（1）常数阶。

常数阶算法运行的次数是一个常数，如5、20、100。常数阶算法时间复杂度通常用О(1)表示，例如算法1-6，它的运行次数为4，就是常数阶，用О(1)表示。

（2）多项式阶。

很多算法时间复杂度是多项式，通常用О(n)、О(n2)、О(n3)等表示。例如算法1-3就是多项式阶。

（3）指数阶。

指数阶时间复杂度运行效率极差，程序员往往像躲“恶魔”一样避开它。常见的有О(2n)、О(n！)、О(nn)等。使用这样的算法要慎重，例如趣味故事1-1。

（4）对数阶。

对数阶时间复杂度运行效率较高，常见的有О(logn)、О(nlogn)等，例如算法1-4。

常见时间复杂度函数曲线如图1-9所示。

 

​从图1-9中可以看出，指数阶增量随着x的增加而急剧增加，而对数阶增加缓慢。它们之间的关系为：

О(1)< О(logn)< О(n)< О(nlogn) < О(n2)< О(n3)< О(2n) < О(n!)< О(nn)

我们在设计算法时要注意算法复杂度增量的问题，尽量避免爆炸级增量。

趣味故事1-2：神奇兔子数列

假设第1个月有1对刚诞生的兔子，第2个月进入成熟期，第3个月开始生育兔子，而1对成熟的兔子每月会生1对兔子，兔子永不死去……那么，由1对初生兔子开始，12个月后会有多少对兔子呢？

兔子数列即斐波那契数列，它的发明者是意大利数学家列昂纳多?斐波那契（Leonardo Fibonacci，1170—1250）。1202年，他撰写了《算盘全书》（《Liber Abaci》）一书，该书是一部较全面的初等数学著作。书中系统地介绍了印度—阿拉伯数码及其演算法则，介绍了中国的“盈不足术”；引入了负数，并研究了一些简单的一次同余式组。

（1）问题分析

我们不妨拿新出生的1对小兔子分析：

第1个月，小兔子①没有繁殖能力，所以还是1对。

第2个月，小兔子①进入成熟期，仍然是1对。

第3个月，兔子①生了1对小兔子②，于是这个月共有2（1+1=2）对兔子。

第4个月，兔子①又生了1对小兔子③。因此共有3（1+2=3）对兔子。

第5个月，兔子①又生了1对小兔子④，而在第3个月出生的兔子②也生下了1对小兔子⑤。共有5（2+3=5）对兔子。

第6个月，兔子①②③各生下了1对小兔子。新生3对兔子加上原有的5对兔子这个月共有8（3+5=8）对兔子。

……

为了表达得更清楚，我们用图示来分别表示新生兔子、成熟期兔子和生育期兔子，兔子的繁殖过程如图1-10所示。

 

​图1-10　兔子繁殖过程

这个数列有十分明显的特点，从第3个月开始，当月的兔子数=上月兔子数+当月新生兔子数，而当月新生的兔子正好是上上月的兔子数。因此，前面相邻两项之和，构成了后一项，即：

当月的兔子数=上月兔子数+上上月的兔子数

斐波那契数列如下：

1，1，2，3，5，8，13，21，34，…

递归式表达式：

那么我们该怎么设计算法呢？

哈哈，这太简单了，用递归算法很快就算出来了！

（2）算法设计

首先按照递归表达式设计一个递归算法，见算法1-8

  移除点击

​写得不错，那么算法设计完成后，我们有3个问题：

算法是否正确？

算法复杂度如何？

能否改进算法？

（3）算法验证分析

第一个问题毋庸置疑，因为算法1-8是完全按照递推公式写出来的，所以正确性没有问题。那么算法复杂度呢？假设T(n)表示计算Fib1(n)所需要的基本操作次数，那么：

 

​因此，n>2时要分别调用Fib1(n-1)、Fib1(n-2)和执行一次加法运算，即：

 

​递归表达式和时间复杂度T(n)之间的关系如下：

由此可得：

 

​。

那么怎么计算F(n)呢？

有兴趣的读者可以看本文附录A中通项公式的求解方法，也可以看下文中的简略解释。

斐波那契数列通项为：

当n趋近于无穷时，

 

​由于

 

​这是一个指数阶的算法！

如果我们今年计算出了F(100)，那么明年才能算出F(101)，多算一个斐波那契数需要一年的时间，爆炸增量函数是算法设计的噩梦！算法1-8的时间复杂度属于爆炸增量函数，这在算法设计时是应当避开的，那么我们能不能改进它呢？

（4）算法改进

既然斐波那契数列中的每一项是前两项之和，如果记录前两项的值，只需要一次加法运算就可以得到当前项，时间复杂度会不会更低一些？我们用数组试试看，见算法1-9。

  移除点击此处添加图片说明文字

​很明显，算法1-9的时间复杂度为О(n)。算法仍然是按照F(n)的定义，所以正确性没有问题，而时间复杂度却从算法1-8的指数阶降到了多项式阶，这是算法效率的一个巨大突破！

算法1-9使用了一个辅助数组记录中间结果，空间复杂度也为О(n)，其实我们只需要得到第n个斐波那契数，中间结果只是为了下一次使用，根本不需要记录。因此，我们可以采用迭代法进行算法设计，见算法1-10。

 

​迭代过程如下。

初始值：s1=1；s2=1；

　　　　　 当前解　　　 记录前一项

i=3时　　 s2= s1+s2=2　　 s1=s2-s1=1

i=4时　　 s2= s1+s2=3　　 s1= s2-s1=2

i=5时　　 s2= s1+s2=5　　 s1= s2-s1=3

i=6时　　 s2= s1+s2=8　　 s1= s2-s1=5

……　　　　　 ……　　　　　 ……

算法1-10使用了若干个辅助变量，迭代辗转相加，每次记录前一项，时间复杂度为О(n)，但空间复杂度降到了О(1)。

问题的进一步讨论：我们能不能继续降阶，使算法时间复杂度更低呢？实质上，斐波那契数列时间复杂度还可以降到对数阶О(logn)，有兴趣的读者可以查阅相关资料。想想看，我们把一个算法从指数阶降到多项式阶，再降到对数阶，这是一件多么振奋人心的事！

（5）惊人大发现

科学家经研究在植物的叶、枝、茎等排列中发现了斐波那契数！例如，在树木的枝干上选一片叶子，记其为数1，然后依序点数叶子（假定没有折损），直到到达与那片叶子正对的位置，则其间的叶子数多半是斐波那契数。叶子从一个位置到达下一个正对的位置称为一个循回。叶子在一个循回中旋转的圈数也是斐波那契数。在一个循回中，叶子数与叶子旋转圈数的比称为叶序（源自希腊词，意即叶子的排列）比。多数植物的叶序比呈现为斐波那契数的比，例如，蓟的头部具有13条顺时针旋转和21条逆时针旋转的斐波那契螺旋，向日葵的种子的圈数与子数、菠萝的外部排列同样有着这样的特性，如图1-11所示。

 

​图1-11　斐波那契螺旋（图片来自网络）

观察延龄草、野玫瑰、南美血根草、大波斯菊、金凤花、耧斗菜、百合花、蝴蝶花的花瓣，可以发现它们的花瓣数目为斐波那契数：3，5，8，13，21，…。如图1-12所示。

 

​图1-12　植物花瓣（图片来自网络）

树木在生长过程中往往需要一段“休息”时间，供自身生长，而后才能萌发新枝。所以，一株树苗在一段间隔（例如一年）以后长出一条新枝；第二年新枝“休息”，老枝依旧萌发；此后，老枝与“休息”过一年的枝同时萌发，当年生的新枝则次年“休息”。这样，一株树木各个年份的枝桠数便构成斐波那契数列，这个规律就是生物学上著名的“鲁德维格定律”。

这些植物懂得斐波那契数列吗？应该并非如此，它们只是按照自然的规律才进化成这样的。这似乎是植物排列种子的“优化方式”，它能使所有种子具有相近的大小却又疏密得当，不至于在圆心处挤太多的种子而在圆周处却又很稀疏。叶子的生长方式也是如此，对于许多植物来说，每片叶子从中轴附近生长出来，为了在生长的过程中一直都能最佳地利用空间（要考虑到叶子是一片一片逐渐地生长出来，而不是一下子同时出现的），每片叶子和前一片叶子之间的角度应该是222.5°，这个角度称为“黄金角度”，因为它和整个圆周360°之比是黄金分割数0.618的倒数，而这种生长方式就导致了斐波那契螺旋的产生。向日葵的种子排列形成的斐波那契螺旋有时能达到89，甚至144。1992年，两位法国科学家通过对花瓣形成过程的计算机仿真实验，证实了在系统保持最低能量的状态下，花朵会以斐波那契数列的规律长出花瓣。

有趣的是：这样一个完全是自然数的数列，通项公式却是用无理数来表达的。而且当n趋向于无穷大时，斐波那契数列前一项与后一项的比值越来越逼近黄金分割比0.618：1÷1 = 1，1÷2 = 0.5，2÷3 = 0.666，…，3÷5 = 0.6，5÷8 = 0.625，…，55÷89 = 0.617977，…，144÷233 = 0.618025，…，46368÷75025 = 0.6180339886……

越到后面，这些比值越接近黄金分割比：

斐波那契数列起源于兔子数列，这个现实中的例子让我们真切地感到数学源于生活，生活中我们需要不断地通过现象发现数学问题，而不是为了学习而学习。学习的目的是满足对世界的好奇心，如果我们怀着这样一颗好奇心，或许世界会因你而不同！斐波那契通过兔子繁殖来告诉我们这种数学问题的本质，随着数列项的增加，前一项与后一项之比越来越逼近黄金分割的数值0.618时，我彻底被震惊到了，因为数学可以表达美，这是令我们叹为观止的地方。当数学创造了更多的奇迹时，我们会发现数学本质上是可以回归到自然的，这样的事例让我们感受到数学的美，就像黄金分割、斐波那契数列，如同大自然中的一朵朵小花，散发着智慧的芳香……　

灵魂之交——马克思手稿中的数学题

有人抱怨：算法太枯燥、乏味了，看到公式就头晕，无法学下去了。你肯定选择了一条充满荆棘的路。选对方法，你会发现这里是一条充满鸟语花香和欢声笑语的幽径，在这里，你可以和高德纳聊聊，同爱因斯坦喝杯咖啡，与歌德巴赫和角谷谈谈想法，Dijkstra也不错。与世界顶级的大师进行灵魂之交，不问结果，这一过程已足够美妙！

如果这本文能让多一个人爱上算法，这就足够了！

趣味故事1-3：马克思手稿中的数学题

马克思手稿中有一道趣味数学问题：有30个人，其中有男人、女人和小孩，这些人在一家饭馆吃饭花了50先令；每个男人花3先令，每个女人花2先令，每个小孩花1先令；问男人、女人和小孩各有几人？

（1）问题分析

设x、y、z分别代表男人、女人和小孩。按题目的要求，可得到下面的方程：

x+y+z=30　①

3x+2y+z=50 ②

两式相减，②-①得：

2x+y=20　③

从式③可以看出，因为x、y为正整数，x最大只能取9，所以x变化范围是1～9。那么我们可以让x从1到9变化，再找满足①②两个条件y、z值，找到后输入即可，答案可能不止一个。

（2）算法设计

按照上面的分析进行算法设计，见算法1-11。

 

​（3）算法分析

算法完全按照题中方程设计，因此正确性毋庸置疑。那么算法复杂度怎样呢？从算法1-11中可以看出，对算法时间复杂度贡献最大的语句是for(x=1;x<=9;x++)，该语句的执行次数是9，for循环中3条语句的执行次数也为9，其他语句执行次数为1，for语句一共执行36次基本运算，时间复杂度为О(1)。没有使用辅助空间，空间复杂度也为О(1)。

（4）问题的进一步讨论

为什么让x变化来确定y、z值？让y变化来确定x、z值会怎样呢？让z变化来确定x、y值行不行？有没有更好的算法降低时间复杂度？

趣味故事1-4：爱因斯坦的阶梯

爱因斯坦家里有一条长阶梯，若每步跨2阶，则最后剩1阶；若每步跨3阶，则最后剩2阶；若每步跨5阶，则最后剩4阶；若每步跨6阶，则最后剩5阶。只有每次跨7阶，最后才正好1阶不剩。请问这条阶梯共有多少阶？

（1）问题分析

根据题意，阶梯数n满足下面一组同余式：

n≡1(mod2)

n≡2(mod3)

n≡4(mod5)

n≡5(mod6)

n≡0(mod7)

注意：两个整数a、b，若它们除以整数m所得的余数相等，则称a、b对于模m同余，记作a≡b(mod m)，读作a同余于b模m，或读作a与b关于模m同余。那么只需要判断一个整数值是否满足这5个同余式即可。

（2）算法设计

按照上面的分析进行算法设计，见算法1-12。

 

​（3）算法分析

算法的运行结果：

 

​因为n从1开始，找到第一个满足条件的数就停止，所以算法1-12中的while语句运行了119次。有的算法从算法本身无法看出算法的运行次数，例如算法1-12，我们很难知道while语句执行了多少次，因为它是满足条件时停止，那么多少次才能满足条件呢？每个问题具体的次数是不同的，所以不能看到程序中有n，就简单地说它的时间复杂度为n。

我们从1开始一个一个找结果的办法是不是太麻烦了？

（4）算法改进

因为从上面的5个同余式来看，这个数一定是7的倍数n≡0(mod 7)，除以6余5，除以5余4，除以3余2，除以2余1，我们为什么不从7的倍数开始判断呢？算法改进见算法1-13。

 

​算法的运行结果：

 

​算法1-13中的while语句执行了119/7=17次，可见运行次数减少了不少呢！

（5）问题的进一步讨论

此题算法还可考虑求1、2、4、5的最小公倍数n，然后令t=n-1，判断t≡0(mod 7)是否成立，若不成立则t=t+n，再进行判别，直到选出满足条件的t为止。

1、2、4、5的最小公倍数n=20。

t=n-1=19，t≡0(mod 7)不成立；

t= t+n=39，t≡0(mod 7)不成立；

t= t+n=59，t≡0(mod 7)不成立；

t= t+n=79，t≡0(mod 7)不成立；

t= t+n=99，t≡0(mod 7)不成立；

t= t+n=119，t≡0(mod 7)成立。

我们可以看到这一算法判断6次即成功，但是，求多个数的最小公倍数需要多少时间复杂度，是不是比上面的算法更优呢？结果如何请大家动手试一试。

趣味故事1-5：哥德巴赫猜想

哥德巴赫猜想：任一大于2的偶数，都可表示成两个素数之和。

验证：2000以内大于2的偶数都能够分解为两个素数之和。

（1）问题分析

为了验证哥德巴赫猜想对2000以内大于2的偶数都是成立的，要将整数分解为两部分（两个整数之和），然后判断分解出的两个整数是否均为素数。若是，则满足题意；否则重新进行分解和判断。素数测试的算法可采用试除法，即用2，3，4，…，

去除n，如果能被整除则为合数，不能被整除则为素数。

（2）算法设计

按照上面的分析进行算法设计，见算法1-14。

 

​（3）算法分析

要验证哥德巴赫猜想对2000以内大于2的偶数都是成立的，我们首先要看看这个范围的偶数有多少个。1～2000中有1000个偶数，1000个奇数，那么大于2的偶数有999个，即i=4，6，8，…，2000。再看偶数分解和素数判断，这就要看最好情况和最坏情况了。最好的情况是一次分解，两次素数判断即可成功，最坏的情况要i -2次分解（即n=2，3，…，i -1的情况），每次分解分别执行2～sqrt(n)次、2～sqrt(i -n)次判断。

这个程序看似简单合理，但存在下面两个问题。

1）偶数分解存在重复。

i=4：分解为（2，2），（3，1），从n=2，3，…，i-1分解，每次得到一组数（n，i -n）。

i=6：分解为（2，4），（3，3），（4，2），（5，1）。

i=8：分解为（2，6），（3，5），（4，4），（5，3），（6，2），（7，1）。

除了最后一项外，每组分解都在i/2处对称分布。最后一组中有一个数为1，1既不是素数也不是合数，因此去掉最后一组，那么我们就可以从n=2，3，…，i/2进行分解，省掉了一半的多余判断。

2）素数判断存在重复。

i=4：分解为（2，2），（3，1），要判断2是否为素数，然后判断第二个2是否为素数。判断成功，返回。

i=6：分解为（2，4），（3，3），（4，2），（5，1），要判断2是否为素数，然后判断4是否为素数，不是继续下一个分解。再判断3是否为素数，然后判断第二个3是否为素数。判断成功，返回。

每次判断素数都要调用prime函数，那么可以先判断分解有可能得到的数是否为素数，然后把结果存储下来，下次判断时只需要调用上次的结果，不需要再重新判断是否为素数。例如（2，2），第一次判断结果2是素数，那第二个2就不用判断，直接调用这个结果，后面所有的分解，只要遇到这个数就直接认定为这个结果。

（4）算法改进

先判断所有分解可能得到的数是否为素数，然后把结果存储下来，有以下两种方法。

1）用布尔型数组 flag[2..1998]记录分解可能得到的数（2～1998）所有数是不是素数，分解后的值作为下标，调用该数组即可。时间复杂度减少，但空间复杂度增加。

2）用数值型数组data[302]记录2～1998中所有的素数（302个）。

分解后的值，采用折半查找（素数数组为有序存储）的办法在素数数组中查找，找到就是素数，否则不是。

不分解，直接在素数数组中找两个素数之和是否为i，如果找到，验证成功。因为素数数组为有序存储，当两个数相加比i大时，不需要再判断后面的数。

（5）问题的进一步讨论

上面的方法可以写出3个算法，大家可以尝试写一写，然后分析时间复杂度、空间复杂度如何？哪个算法更优一些？是不是还可以做到更好？

1.5　算法学习瓶颈

很多人感叹：算法为什么这么难！

一个原因是，算法本身具有一定的复杂性，还有一个原因：讲得不到位！

算法的教与学有两个困难。

（1）我们学习了那些经典的算法，在惊叹它们奇妙的同时，难免疑虑重重：这些算法是怎么被想到的？这可能是最费解的地方。高手讲，学算法要学它的来龙去脉，包括种种证明。但这对菜鸟来说，这简直比登天还难，很可能花费很多时间也无法搞清楚。对大多数人来说，这条路是行不通的，那怎么办呢？下功夫去记忆书上的算法？记住这些算法的效率？这样做看似学会了，其实两手空空，遇到一个新问题，仍然无从下手。可这偏偏又是极重要的，无论做研究还是实际工作，一个计算机专业人士最重要的能力就是解决问题——解决那些不断从实际应用中冒出来的新问题。

（2）算法作为一门学问，有两条几乎平行的线索。一个是数据结构（数据对象）：数、矩阵、集合、串、排列、图、表达式、分布等。另一个是算法策略：贪心、分治、动态规划、线性规划、搜索等。这两条线索是相互独立的：同一个数据对象（如图）上有不同的问题（如单源最短路径和多源最短路径），就可以用到不同的算法策略（例如贪婪和动态规划）；而完全不同的数据对象上的问题（如排序和整数乘法），也许就会用到相同的算法策略（如分治）。

两条线索交织在一起，该如何表述？我们早已习惯在一章中完全讲排序，而在另一章中完全讲图论算法。还没有哪一本算法书很好地解决这两个困难，传统的算法书大多注重内容的收录，但却忽视思维过程的展示，因此我们学习了经典的算法，却费解于算法设计的过程。

本文从问题出发，根据实际问题分析、设计合适的算法策略，然后在数据结构上操作实现，巧妙地将数据结构和算法策略拧成了一条线。通过大量实例，充分展现算法设计的思维过程，让读者充分体会求解问题的思路，如何分析？使用什么算法策略？采用什么数据结构？算法的复杂性如何？是否有优化的可能？

这里，我们培养的是让读者怀着一颗好奇心去思考问题、解决问题。更重要的是——体会学习的乐趣，发现算法的美！

你怕什么

本文主要说明以下问题。

（1）将程序执行次数作为时间复杂度衡量标准。

（2）时间复杂度通常用渐近上界符号f(n)表示。

（3）衡量算法的好坏通常考查算法的最坏情况。

（4）空间复杂度只计算辅助空间。

（5）递归算法的空间复杂度要计算递归使用的栈空间。

（6）设计算法时尽量避免爆炸级增量复杂度。

通过本文的学习，我们对算法有了初步的认识，算法就在我们的生活中。任何一个算法都不是凭空造出来的，而是来源于实际中的某一个问题，由此推及一类、一系列问题，所以算法的本质是高效地解决实际问题。本文部分内容或许你不是很清楚，不必灰心，还记得我在前言中说的“大视野，不求甚解”吗？例如斐波那契数列的通项公式推导，不懂没关系，只要知道斐波那契数列用递归算法，时间复杂度是指数阶，这就够了。就像一个面包师一边和面，一边详细讲做好面包要多少面粉、多少酵母、多大火候，如果你对如何做面包非常好奇，大可津津有味地听下去，如果你只是饿了，那么只管吃好了。

通过算法，你可以与世界顶级大师进行灵魂交流，体会算法的妙处。

Donald Ervin Knuth说：“程序就是蓝色的诗”。而这首诗的灵魂就是算法，走进算法，你会发现无与伦比的美！

持之以恒地学习，没有什么是学不会的。行动起来，没有什么不可以！

本文摘自《趣学算法》

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