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矩阵的奇异值分解(SVD)(理论)

矩阵的奇异值分解(Singular Value Decomposition,SVD)是数值计算中的精彩之处,在其它数学领域和机器学习领域得到了广泛的应用,如矩阵的广义逆,主分成分析(PCA),自然语言处理(NLP)中的潜在语义索引(Latent Semantic Indexing),推荐算法等。 鉴于实际应用,本次分享中的数域为实数域,即我们只在实数范围内讨论。我们假定读者具有大学线性代数的水平。那么,矩阵的奇异值分解定理如下: (定理)(奇异值分解定理)任意一个m×n矩阵A可分解为 A=PDQ 其中P是m×m正交矩阵,D是m×n对角阵,Q是n×n正交矩阵。 证明:矩阵ATA是n×n对称矩阵,因为(ATA)T=AT(AT)T=ATA.又因为 xT(ATA)x=(Ax)T(Ax)≥0, 所以ATA是半正定矩阵,从而,ATA的特征值为非负数。 假设ATA的特征值为σ21,σ22,...,σ2n,其中,σ21,σ22,...,σ2r都是正的,σ2r+1,σ2r+2,...,σ2n都是0,r为ATA的秩。设{u1,u2,...,un}为ATA的标准正交特征向量集,则 ATAui=σ2iui(i...

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