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算法之树（二，B+树、哈夫曼树、堆、红黑树）(Java版)-持续更新补充

一、B+树

B+树的特征

1. 有k个子树的中间节点包含有k个元素（B树中是k-1个元素），每个元素不保存数据，只用来索引，所有数据都保存在叶子节点。
2. 所有的叶子结点中包含了全部元素的信息，及指向含这些元素记录的指针，且叶子结点本身依关键字的大小自小而大顺序链接。
3. 所有的中间节点元素都同时存在于子节点，在子节点元素中是最大（或最小）元素。
   如图（图片来自程序员小灰）

在程序员小灰的公众号里提到了一个概念——卫星数据：索引元素指向的数据记录，比如数据库中的某一行。在B+树中只有叶子节点带卫星数据，其他的中间节点只是索引，没有任何数据关联。在数据库的聚集索引（Clustered Index）中，叶子节点直接包含卫星数据。在非聚集索引（NonClustered Index）中，叶子节点带有指向卫星数据的指针。 吧

B+树的优势

1. 单一节点存储更多元素。B+树中间节点没有卫星数据（也就是说只包含索引信息），所以每个非叶子节点可以包含更多的内容，同样大小的磁盘页可以容纳更多的节点元素。也就是说B+树会在相同数据量的情况下比B树更加“矮胖”，查询的IO次数更少。
2. 查询效率稳定。B+树的查询必须最终找到叶子节点，而B树如果在中间节点找到匹配的即可（最好情况是只查根节点，最差是查到叶子节点），而B+树每一次都是稳定的。B-树的好处是，虽然查询性能不稳定，但平均的查询速度快一些。试想一个数据库的查询，有时候执行10毫秒，有时候执行100毫秒，肯定是不太合适的。还不如每次都执行30毫秒。
3. 范围查询简便。B树的范围查询只能依靠繁琐的中序遍历，找到下限和上限。而B+树的范围查询很简单，只需要在叶子节点那一层的链表上做遍历就行。

为什么数据库中一定要索引

二分查找，二叉树查找都依赖特定的数据结构，分别是待查找数据有序、二叉查找树，显然数据本身不能完全满足各种数据结构。
所以，数据库除了维护数据之外，还维护者满足特定查找算法的数据结构——索引，索引以某种方式引用数据，这样就可以在索引的基础上实现高级的查找等操作。目前大部分数据库系统和文件系统都采用B树或者变种的B+树来作为索引结构。

为什么MySQL数据库中使用B+树

1.局部性原理与磁盘预读
由于磁盘的存取速度与内存之间鸿沟,为了提高效率,要尽量减少磁盘I/O.磁盘往往不是严格按需读取，而是每次都会预读,磁盘读取完需要的数据,会顺序向后读一定长度的数据放入内存。而这样做的理论依据是计算机科学中著名的局部性原理：

当一个数据被用到时，其附近的数据也通常会马上被使用，程序运行期间所需要的数据通常比较集中

由于磁盘顺序读取的效率很高(不需要寻道时间，只需很少的旋转时间)，因此对于具有局部性的程序来说，预读可以提高I/O效率.预读的长度一般为页(page)的整倍数。

2.数据库索引采用B+树的主要原因
根据上面的局部性原理和磁盘预读，B树中用了这个技巧：每次新建节点时，直接申请一个页的空间，这样就保证一个节点物理上也存储在一个页里，加之计算机存储分配都是按页对齐的，就实现了一个结点只需一次I/O。
B树在提高了IO性能的同时并没有解决元素遍历的效率低下的问题，正是为了解决这个问题，B+树应用而生。B+树只需要去遍历叶子节点就可以实现整棵树的遍历。而且在数据库中基于范围的查询是非常频繁（比如查询某段时间之内的数据）的，而B树不支持这样的操作或者说效率太低（前文已经说明效率低的原因）。

二、哈夫曼树

带权路径长度最小的树就叫最优二叉树，也就是哈夫曼树。要使带权路径长度最小，那么权值大的点就应该离根节点越近。
构造方法：先从小到大排序，然后选择最小的两棵树合并，重复这两个步骤。

哈夫曼编码

如果对一段英文转换为二进制传输，采用哈夫曼编码，让频率高的用短码，频率低的用长码，而且保证不会有某个字符的串是另一个字符的前缀（因为如果每个字符的长度不一样会出现这样的问题，比如，一个字符被11表示，另一个被110表示，出现一段11011，这样就有歧义）

哈夫曼树实现

之前数据结构课上用C写过哈夫曼树，Java的暂时不搞了，之后遇见再回来补充。

三、堆

堆是一个完全二叉树，大顶堆就是每个节点都不大于它的父节点。
插入和删除时间复杂度都是O(logn)。

堆排序

初始化一个堆，然后把无序数组的每个值都依次插入堆中，然后一直删除，把被删除的元素放到数组的最后一个有效元素之后的位置。

public class Heap {
    private int[] element;
    
    public Heap(int maxSize) {
        element = new int[maxSize];
        element[0] = 0;//存放堆中实际的个数
    }
    
    public boolean isEmpty() {
        return element[0] == 0;
    }
    public boolean isFull() {
        return element[0] == element.length - 1;
    }
    public void insert(int value) {
        if(isFull()) {
            throw new IndexOutOfBoundsException("堆已经满啦..");
        }
        if(isEmpty()) {
            element[1] = value;
        }else {
            int i = element[0] + 1;
            while(i != 1 && value > element[i / 2]) {
                element[i] = element[i / 2];
                i /= 2;
            }
            element[i] = value;
        }
        element[0] ++;
    }
    public int delete() {
        if(isEmpty()) {
            throw new IndexOutOfBoundsException("堆空啦");
        }
        int deleteElement = element[1];
        element[1] = element[element[0]];
        element[0]--;
        int value = element[1];
        int parent = 1;
        int child = 2;
        while(child <= element[0]) {
            if(child + 1 <= element[0] && element[child] < element[child + 1]) {
                child ++;
            }
            if(value >= element[child]) {
                break;
            }else {
                element[parent] = element[child];
                parent = child;
                child *= 2;
            }
        }
        element[parent] = value;
        return deleteElement;
    }
    public void printAll() {
        for(int i = 0; i < element[0]; i++) {
            System.out.print(element[i]);
            if(i != element[0]) {
                System.out.print(",");
            }
        }
        System.out.println();
    }
    public void sort() {
        int size = element[0];
        for(int i = 0; i < size; i++) {
            int deleteElement = delete();
            element[element[0] + 1] = deleteElement;
        }    
        for(int i = 1; i <= size; i++) {
            System.out.print(element[i]);
            if(i != size) {
                System.out.print(",");
            }
        }
    }
}

红黑树

红黑树的插入、删除、查找最坏时间复杂度都是O(logn)。
红黑树理解概念就OK了，目前不深入研究。
推荐一篇很好的对红黑树的概念理解文章：
漫画：什么是红黑树？

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算法之树（二，B+树、哈夫曼树、堆、红黑树）(Java版)-持续更新补充
参考

1. 《轻松学算法》赵烨
2. 漫画：什么是B+树？
3. 为什么MySQL数据库索引选择使用B+树？
4. 数据库为什么要用B+树结构--MySQL索引结构的实现
5. 由 B-/B+树看 MySQL索引结构