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前言

快速幂是什么？

• 顾名思义，快速幂就是快速算底数的n次幂。

有多快？

• 其时间复杂度为 O(log₂n)， 与朴素的O(n)相比效率有了极大的提高。

用的多么？

• 快速幂属于数论的范畴，本是ACM经典算法，但现在各厂对算法的要求越来越高，并且快速幂适用场景也比较多并且相比朴素方法有了非常大的提高。所以掌握快速幂算法已经是一名更合格的工程师必备要求！

下面来详细看看快速幂算法吧！

快速幂介绍

先看个问题再说：

初探

首先问你一个问题，如果让你求 (2^10)%1000你可能会这样写：

int va=1;
for(int i=0;i<10;i++)
{
  va*=2;
}
System.out.println(va%10000);

熟悉的1024没问题，总共计算了10次。但是如果让你算 (2^50)%10000呢？

你可能会窃喜，小样，这就想难住我？我知道int只有32位，50位超出范围会带来数值越界的异常，我这次可以用long，long有64位呢！

long va=1;
for(int i=0;i<50;i++)
{
  va*=2;
}
System.out.println(va);
System.out.println(va%10000);

计算50次出了结果正当你暗暗私喜的时候又来了一个要命的问题：让你算 (2^1e10)%10000 且不许你用Java大数类，你为此苦恼不知所措。这时bigsai小哥哥让你百度下取模运算，然后你恍然大悟，在纸上写了几个公式：

(a + b) % p = (a % p + b % p) % p  （1）
(a - b) % p = (a % p - b % p ) % p （2）
(a * b) % p = (a % p * b % p) % p  （3）
a ^ b % p = ((a % p)^b) % p        （4）

你还算聪明一眼发现其中的规律：

(a * b) % p = (a % p * b % p) % p   (3)
(2*2*2···*2) %1e10=[2*(2*2···*2)]%1e5=(2%1e5)*(2*2···*2%le5)%1e5

凭借这个递推你明白：每次相乘都取模。机智的你pia pia写下以下代码，却发现另一个问题：怎么跑不出来？

咱们打工人需要对计算机运行速度和数值有一个大致的概念。循环体中不同操作占用时间不同，所以当你的程序循环次数到达1e6或1e7的时候就需要非常非常小心了。如果循环体逻辑或者运算较多可能非常非常慢。

快速幂探索

机智的你不甘失败，开始研究其数的规律，将这个公式写在手上、膀子上、小纸条上。吃饭睡觉都在看：

然后你突然发现其中的奥秘，n次幂可以拆分成一个平方计算后就剩余n/2的次幂了：

现在你已经明白了快速幂是怎么回事，但你可能有点上头，还是给我讲了很多内容：

快速幂实现

至于快速幂已经懂了，我们该怎么实现这个算法呢？

说的不错，确实有递归和非递归的实现方式，但是递归使用的更多一些。在实现的时候，注意一下奇偶性、停止条件就可以了，奇数问题可以转换为偶数问题：

2*2*2*2*2=2 * (2*2*2*2) 奇数问题可以转化为偶数问题。

这里，递归的解法如下：

long c=10000007;
public  long divide(long a, long b) {
        if (b == 0)
            return 1;
        else if (b % 2 == 0) //偶数情况
            return divide((a % c) * (a % c), b / 2) % c;
    else//奇数情况
            return a % c * divide((a % c) * (a % c), (b - 1) / 2) % c;
    }

非递归实现也不难，控制好循环条件即可：

//求 a^b%1000000007
long c = 1000000007;
public  long divide(long a, long b) {
  a %= c;
  long res = 1;
  for (; b != 0; b /= 2) {
    if (b % 2 == 1)
      res = (res * a) % c;
    a = (a * a) % c;
  }
  return res;
}

对于非递归你可能有点模糊为啥偶数情况不给res赋值。这里有两点：

• 为奇数的情况res仅仅是收集相乘那个时候落单的a

• 最终b均会降到1，a最终都会和res相乘，不用担心会漏掉

• 理想状态一直是偶数情况，那最后直接获得a取模的值即可。

如果还是不懂，可以用这个图来解释一下：

矩阵快速幂

你以为这就结束了？虽然快速幂主要内容就是以上内容，但是总有很多牛人能够发现很有趣的规律—矩阵快速幂。如果你没听过的话建议仔细看看了解一下。

大家都知道斐波那契数列：的规则：

前几个斐波那契的数列为：0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, …

斐波那契从递推式就可以看出是指数级别的增长，所以稍微多几个数字就是爆炸式增长，所以很多时候也会要求最后几位的结果。有了前面模运算公式溢出就不成问题，但n如果非常非常大怎么快速计算就成了一个新的问题。

我们看下面一组公式：

f(n+1) = f(n)   + f(n-1)
f(n)   = f(n)

如果将f(n)和f(n-1)放到一个矩阵中(一行两列)：[f(n+1),f(n)] 能否找到和[f(n),f(n-1)]之间的什么规律呢？

答案是存在规律的，看上面的公式知道

[f(n+1),f(n)]
=[f(n)+f(n-1),f(n)]

                 [1  1]
=[f(n),f(n-1)]  *      
                 [1  0]

                 [1  1] [1   1]
=[f(n-1),f(n-2)]*      *
                 [1  0] [1   1]  

=·······           

所以现在你可以知道它的规律了吧，这样一直迭代到f(2),f(1)刚好都为1，所以这个斐波那契的计算为：

而这个矩阵有很多次幂，就可以使用快速幂啦，原理一致，你只需要写一个矩阵乘法就可以啦,下面提供一个矩阵快速幂求斐波那契第n项的后三位数的模板，可以拿这个去试一试poj3070的题目啦。

public int Fibonacci(int n)
    {
        n--;//矩阵为两项
        int a[][]= {{1,1},{1,0}};//进行快速幂的矩阵
        int b[][]={{1,0},{0,1}};//存储漏单奇数、结果的矩阵，初始为单位矩阵
        int time=0;
        while(n>0)
        {
            if(n%2==1)
            {
                b=matrixMultiplication(a, b);
            }
            a=matrixMultiplication(a, a);
            n/=2;
        }
        return b[0][0];
    }
 public  int [][]matrixMultiplication(int a[][],int b[][]){//
        int x=a.length;//a[0].length=b.length 为满足条件
        int y=b[0].length;//确定每一排有几个
        int c[][]=new int [x][y];
        for(int i=0;i<x;i++)
            for(int j=0;j<y;j++)
            {
                //需要确定每一个元素
                //c[i][j];
                for(int t=0;t<b.length;t++)
                {
                    c[i][j]+=(a[i][t]%10000)*(b[t][j]%10000);
                    c[i][j]%=10000;
                }
            }
        return c;
    }

结语

这篇到这里就肝完啦，其实快速幂的内容还不止这么多，尤其是矩阵快速幂，会有着各种巧妙的变形，不过跟数学有一些关系，这年头，不会点算法、不会点数学真的是举步维艰。所以大家要对本篇内容好好吸收，让我那么久的努力发挥出作用。

如果有疑问不懂得欢迎私聊我讨论。也希望大家点个在看，您的支持是我努力的不断动力。

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