前两篇主要针对 NumPy 中的基本概念，即高维数组 ndarray 的数据结构以及关键方法作了介绍。本篇重点介绍广播机制以及针对高维数组的轴操作，最后对 NumPy 的 C 语言扩展作了介绍。

• 广播机制
• 转置等轴操作
• 通用函数 ufunc
• NumPy 之 C 语言扩展

1广播

NumPy 运算通常是在两个数组的元素级别上进行的。最简单情况就是，两个具有完全相同 shape 的数组运算，如下面例子所示，

a = np.array([1.0, 2.0, 3.0])
b = np.array([2.0, 2.0, 2.0])
a * b

numpy 的广播机制是指在执行算术运算时处理不同 shape 的数组的方式。在一定规则下，较小的数组在较大的数组上广播，从而使得数组具有兼容的 shape。

a = np.array([1.0, 2.0, 3.0])
b = 2.0
a * b

发现这两个计算的结果是一样的，但第二个是有广播机制在发挥作用。

广播规则

在两个数组上执行运算时，NumPy 比较它们的形状。它从 shape 的最右边开始往左一一比较。如果所有位子比较下来都是下面两种情况之一，

• 相同位子上的两个数字相等
• 或者其中之一是 1

那么这两个数组可以运算。如果不满足这些条件，则将引发 ValueError，表明数组的 shape 不兼容。

可见，数组的 shape 好比人的八字，两个人如果八字不合，那是不能在一起滴。

在下面这些示例中，A 和 B 数组中长度为 1 的那些轴（缺失的轴自动补 1），在广播期间会扩展为另一个数组相同位子上更大的长度，

A      (3d array):  15 x 3 x 5
B      (3d array):  15 x 1 x 5
Result (3d array):  15 x 3 x 5

A      (3d array):  15 x 3 x 5
B      (2d array):       3 x 5
Result (3d array):  15 x 3 x 5

A      (3d array):  15 x 3 x 5
B      (2d array):       3 x 1
Result (3d array):  15 x 3 x 5
    
A      (4d array):  8 x 1 x 6 x 1
B      (3d array):      7 x 1 x 5
Result (4d array):  8 x 7 x 6 x 5

下面例子中第一个数组的 shape 为 (3,3)，第二个数组的 shape 为 (3,)，此时相当于 (1,3)，因此先将第二个数组的 shape 改为 (3,3)，相当于原来数组沿着 0 轴再复制 2 份。

MatA = np.array([[1, 2, 3],[4,5,6],[7,8,9]])
MatB = np.array([1, 2, 3])
MatA + MatB

为了更好地理解这个机制，下面再给出几个例子。下图共三行，分别对应三种广播方式，请对照后面代码。

a = np.array([0,10,20,30])
b = np.array([0,1,2])

A = np.stack((a,a,a), axis=1)

B = np.stack((b,b,b,b))

# 对应第一种情况
A + B

# 对应第二种情况
A + b

a1 = np.array([[0,10,20,30]]).T

# 对应第三种情况
a1 + b

而下面例子不满足广播规则，因而不能执行运算。

A      (1d array):  3
B      (1d array):  4 # 倒数最后的轴长度不兼容

A      (2d array):  4 x 3
B      (1d array):      4 # 倒数最后的轴长度不兼容
    
A      (2d array):      2 x 1
B      (3d array):  8 x 4 x 3 # 倒数第二个轴长度不兼容

广播机制小结

• 广播机制为数组运算提供了一种便捷方式。
• 话虽如此，它并非在所有情况下都有效，并且实际上强加了执行广播必须满足的严格规则。
• 仅当数组中每个维的形状相等或维的大小为 1 时，才能执行算术运算。

2维度增减

维度增加

在需要增加轴的位子使用 np.newaxis 或者 None。

x = np.arange(6).reshape(2,3)
x, x.shape

x1 = x[:,np.newaxis,:]
x1, x1.shape

# 或者
x2 = x[:,None,:]
x2, x2.shape

维度压缩

有时候需要将数组中多余的轴去掉，以降低数组维度的目的。

numpy.squeeze( )

• 从数组中删除单维度的轴，即把 shape 中为 1 的维度去掉。

x = np.arange(6).reshape(2,1,3)

y = x.squeeze()

xd = x.__array_interface__['data'][0] 
yd = y.__array_interface__['data'][0] 

3数组转置（换轴）

x = np.arange(9).reshape(3, 3)

y = np.transpose(x) # 或者 y = x.transpose() 或者 x.T

y = np.transpose(x, [1, 0])

x = np.array([3,2,1,0,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15]).reshape(2, 2, 4)

y1 = np.transpose(x, [1, 0, 2])

请对照下图理解这个三维数组在内存中的样子以及对它的不同视图（view）。关于这点，文末附上的进阶篇有详细解读。

y2 = np.transpose(x, [2, 0, 1])

# 代码放一起
x = np.array([3,2,1,0,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15]).reshape(2, 2, 4)
y0 = np.transpose(x, [1, 2, 0])
y1 = np.transpose(x, [1, 0, 2])
y2 = np.transpose(x, [2, 0, 1])

看看变轴后各个数组的元素具体是怎样的，注意，它们都指向同一份数据。

这是怎么实现对内存中同一份数据使用不同的轴序呢？实际上，数据还是那些数据，更改的是各个轴上的步长 stride。

x.strides, y1.strides, y2.strides

# 数据还是同一份
id(x.data), id(y1.data), id(y2.data)

再看一个例子，三维数组有三个轴，注意换轴后每个轴的步长。

x = np.arange(16).reshape(2, 2, 4)

y = x.transpose((1, 0, 2))

两个数组三个轴对应的步长不同了。

轴更换后，下标也跟着换了，所以换轴前后相同下标指向的数据是不同的。

其实，轴的意义主要体现在步长上，所以换轴一定意义上就是更换了步长。

实际例子

RGB 图像数据

• 每张图像由红绿蓝三个通道组成，每个通道对应一个 32×32 的二维数组

看下图，从左到右，分别对应图像数据在内存中的存放，将一维数组转化为三维数组，更换轴。

那么，为什么要换轴呢？因为不同程序包对数据的要求不同，我们为了使用它们，需要按照它们对参数的要求来对数据作相应调整。

而有时候，并不需要换轴，只需要更换某个轴上元素的次序即可，例如，

# 变换某个轴上元素的次序
z = x[..., (3, 2, 1, 0)]

4通用函数

ufunc 函数

• ufunc 是 universal function 的缩写，是指能对数组的每个元素进行操作的函数，而不是针对 narray 对象操作。
• NumPy 提供了大量的 ufunc 函数。这些函数在对 narray 进行运算的速度比使用循环或者列表推导式要快得多。
• NumPy 内置的许多 ufunc 函数是 C 语言实现的，因此计算效率很高。

x = np.linspace(0, 2*np.pi, 5)

y, z = np.sin(x), np.cos(x)

# 将结果直接传给输入 x
np.sin(x, x)

性能比较

import time
import math
import numpy as np

x = [i for i in range(1000000)]

# math.sin
start = time.process_time()
for i, t in enumerate(x):
    x[i] = math.sin(t)
math_time = time.process_time()-start    

# numpy.sin
x = np.array(x, dtype=np.float64)
start = time.process_time()
np.sin(x, x)
numpy_time = time.process_time()-start

# comparison
math_time, numpy_time, math_time/numpy_time

reduce 操作

• 这是 NumPy 内置的通用函数，如果需要这样的计算，建议直接使用，不要自己实现。
• 沿着轴对数组进行操作，相当于将运算符 <op> 插入到沿轴的所有子数组或者元素当中。
• 格式为： <op>.reduce (array=, axis=0, dtype=None)

np.add.reduce([1,2,3])

np.add.reduce([[1,2,3],[4,5,6]], axis=1)

np.multiply.reduce([[1,2,3],[4,5,6]], axis=1)

accumulate 操作

• 这也是 NumPy 内置的通用函数，如果需要这样的计算，建议直接使用，不要自己实现。

• 与 reduce 类似，只是它返回的数组和输入的数组的 shape 相同，保存所有的中间计算结果。

np.add.accumulate([1,2,3])

np.add.accumulate([[1,2,3],[4,5,6]], axis=1)

自定义 ufunc 函数

# 定义一个 python 函数
def ufunc_diy(x):
    c, c0, hc = 0.618, 0.518, 1.0
    x = x - int(x) 
    if x >= c: 
        r = 0.0
    elif x < c0: 
        r = x / c0 * hc
    else: 
        r = (c-x) / (c-c0) * hc
    return r

x = np.linspace(0, 2, 1000000)

ufunc_diy(x)

start = time.process_time()
y1 = np.array([ufunc_diy(t) for t in x])
time_1 = time.process_time()-start
time_1

np.frompyfunc 函数

• 将一个计算单个元素的函数转换成 ufunc 函数

ufunc = np.frompyfunc(ufunc_diy, 1, 1)

start = time.process_time()
y2 = ufunc(x)
time_2 = time.process_time()-start
time_2

NumPy 之 C 扩展

本文主要介绍两种扩展方式，

• ctypes
• Cython

ctypes

• ctypes 是 Python 的一个外部库，提供和 C 语言兼容的数据类型，可以很方便地调用 dll/so 中输出的 C 接口函数。

#ufunc.c
'''
void ufunc_diy(double <em>x, double </em>y, int size) {

    double xx,r,c=0.618,c0=0.518,hc=1.0;
    for(int i=0;i<size;i++) {
        xx = x[i]-(int)(x[i]);
        if (xx>=c) r=0.0;
        else if (xx<c0) r=xx/c0*hc;
        else r=(c-xx)/(c-c0)*hc;
        y[i]=r;
    }
}
'''

#ufunc.py
""" Example of wrapping a C library function that accepts a C double array as
    input using the numpy.ctypeslib. """

import numpy as np
import numpy.ctypeslib as npct
from ctypes import c_int

array_1d_double = npct.ndpointer(dtype=np.double, ndim=1, flags='CONTIGUOUS')

# load the library, using numpy mechanisms
lib = npct.load_library("lib_ufunc", ".")

# setup the return types and argument types
lib.ufunc_diy.restype = None
lib.ufunc_diy.argtypes = [array_1d_double, array_1d_double, c_int]

def ufunc_diy_func(in_array, out_array):
    return lib.ufunc_diy(in_array, out_array, len(in_array))

# 编译
# gcc -shared -fPIC -O2 ufunc.c -ldl -o lib_ufunc.so

import time
import numpy as np
import ufunc

start = time.process_time() 
ufunc.ufunc_diy_func(x, x)
end = time.process_time()
print("ufunc_diy time: ", end-start)

# python test_ufunc.py 
# ufunc_diy time:  0.003 - 0.008

Cython

• Cython 是 Python 的一个超集，可以编译为 C，Cython 结合了 Python 的易用性和原生 C 代码的高效率。

# ufunc_diy.h
void ufunc_diy(double <em> in_array, double </em> out_array, int size);

# ufunc_diy.c
void ufunc_diy(double <em>x, double </em>y, int size) {

    double xx,r,c=0.618,c0=0.518,hc=1.0;
    for(int i=0;i<size;i++) {
        xx = x[i]-(int)(x[i]);
        if (xx>=c) r=0.0;
        else if (xx<c0) r=xx/c0*hc;
        else r=(c-xx)/(c-c0)*hc;
        y[i]=r;
    }
}

# Cython支持 NumPy
# 在代码中声明 a = np.array([0,10,20,30])
b = np.array([0,1,2])cimport numpy，使用函数。

#_ufunc_cython.pyx_
""" Example of wrapping a C function that takes C double arrays as input using
    the Numpy declarations from Cython """

# cimport the Cython declarations for numpy
cimport numpy as np

# if you want to use the Numpy-C-API from Cython
# (not strictly necessary for this example, but good practice)
np.import_array()

# cdefine the signature of our c function
cdef extern from "ufunc_diy.h":
    void ufunc_diy (double <em> in_array, double </em> out_array, int size)

# create the wrapper code, with numpy type annotations
def ufunc_diy_func(np.ndarray[double, ndim=1, mode="c"] in_array not Noa = np.array([0,10,20,30])
b = np.array([0,1,2])ne,
                   np.ndarray[double, ndim=1, mode="c"] out_array not None):
    ufunc_diy(<double*> np.PyArray_DATA(in_array),
              <double*> np.PyArray_DATA(out_array),
              in_array.shape[0])

# setup.py
from distutils.core import setup, Extension
import numpy
from Cython.Distutils import build_ext

setup(
    cmdclass={'build_ext': build_ext},
    ext_modules=[Extension("ufunc_cython",
                 sources=["_ufunc_cython.pyx", "ufunc_diy.c"],
                 include_dirs=[numpy.get_include()])],
)
# 或者
from distutils.core import setup
import numpy
from Cython.Build import cythonize
 
setup(
    ext_modules=cythonize("_ufunc_cython.pyx", annotate=True),
    include_dirs=[numpy.get_include()]
)

# 编译
python setup.py build_ext --inplace

可以看到多了两个文件，一个是 _ufunc_cython.c，一个是 ufunc_cython.so（如果是 windows，则是 .pyd）。

import time
import numpy as np
import ufunc_cython

start = time.process_time() 
ufunc_cython.ufunc_diy_func(x, x)
end = time.process_time()
print("ufunc_diy time: ", end-start)