2.1二分类

（1）以一张三通道的64×64的图片做二分类识别是否是毛，输出y为1时认为是猫，为0时认为不是猫：

y输出是一个数，x输入是64*64*3=12288的向量。

（2）以下是一些符号定义（数据集变成矩阵之后进行矩阵运算代替循环运算，更加高效）

x：表示一个n_x维数据，维度为（n_x,1）

y：表示输出结果，取值为（0,1）；

（x⁽ⁱ⁾,y⁽ⁱ⁾）：表示第i组数据；

X=[x⁽¹⁾,x⁽²⁾,……,x^(m)]：表示按列将所有的训练数据集的输入值堆叠成一个矩阵；其中m表示样本数目；

Y=[y⁽¹⁾,y⁽²⁾,……,y^(m)]：表示所有输入数据集对于的输出值，其维度为1×m;

2.2逻辑回归

（1）逻辑回归的输出值是一个概率，算法思想如下：

（2）激活函数使用sigmoid,它使得输出值限定在0到1之间，符合概率的取值。

（3）关于偏置项(偏差)b，可将其变成θ₀，对应的x₀恒定为1，如下所示：

2.3逻辑回归的代价函数

（1）损失函数（针对单个样本）：

（2）代价函数（针对全部训练样本）：

2.4梯度下降法

（1）下图中左边为凸函数，右边为非凸函数，逻辑回归中代价函数为凸函数，故任意的初始化都能收敛到最优点：

（2）参数w、b的更新方式：

2.5导数

导数即斜率。

2.6跟多的导数例子

记住一些常见的导数求法或者直接查看导数表。

2.7计算图

（1）下图展示计算图计算的过程：

（2）正向传播用于计算代价函数

2.8计算图的导数计算

（1）反向传播利用链式法则来进行求导，如对a进行求导，其链式法则公式为：

2.9逻辑回归中的梯度下降

针对于单个样本

（1）计算图如下：

（2）首先计算da:

（3）然后计算dz:

（4）最后计算dw，db（下面的式子其实已经对所有样本进行的求导）:

2.10m个样本的梯度下降法

（1）以下代码显示了对整个数据集的一次迭代

（2）以上过程会有两个循环，一个循环是循环是遍历样本，第二个循环是当w很多时是要循环的，上面之写出了两个w,所以没体现出来。

2.11向量化

（1）使用循环的方式计算：ω^Tx

（2）使用向量的方式

后者不仅书写简单，更重要的是计算速度可以比前者快特别多。

2.12向量化的更多例子

（1）消除w带来的循环

设置u=np.zeros(n(x),1)来定义一个x行的一维向量，从而替代循环，仅仅使用一个向量操作dw=dw+x⁽ⁱ⁾dz⁽ⁱ⁾，最后我们得到dw/m。

2.13向量化逻辑回归

（1）将样本x横向堆叠，形成X，同时根据python的广播性质（把实数b变成了（1，m）维），得到：

（2）继续利用Python的计算方法，得到A：

2.14向量化logistic回归的梯度输出

（1）没有用向量化时使用的代码：

（2）使用向量化之后的代码：

其中前面五个式子完成了前向和后向的传播，也实现了对所有训练样本进行预测和求导，再利用后两个式子，梯度下降更新参数。另外如果需要多次迭代的话，还是需要用到一个循环的，那是避免不了的。

2.15Python中的广播

（1）下图形象的总结了Python中的广播

（2）在Python的numpy中，axis=0是按照列操作，axis=1,是按照行操作，这一点需要注意。

2.16关于python_numpy向量的说明

（1）使用a=np.random.randn(5)生成的数据结构在python中称为一维数组，它既不是行向量也不是列向量，用a.shape的结果是（5，）这表示它是一个一维向量，a和它的转置相乘其实得到的是一个数。

 

（2）应该使用a=np.random.randn(5，1)这样生成的是一个行向量，它和他的转置乘积会是一个矩阵：

 2.17Jupyter/iPython Notebooks快速入门

2.18（选修）logistics损失函数的解释

（1）首先需要明确，逻辑回归的输出表示y等于1的概率。故有：

（2）合并成一个式子（要使得式子越大越好）：

（3）根据对数函数log的单调递增性，对上式取对数有：

（4）要最大化上式，最小化上式取反，得到一个样本的损失函数。

（5）所有样本时，认为样本间独立同分布，故联合概率就是每个样本的乘积：

（6）两边取对数得到：

（7）要最大化上式（最大似然估计）也就是最小化：

总结一下：为了最小化成本函数J（w,b），我们logistic回归模型的最大似然估计的角度出发，假设训练集中的样本都是独立同分布的条件下。