动态规划法（七）鸡蛋掉落问题（二）
上次我们讲到，我们的主人公丁丁由于用动态规划法解决了鸡蛋掉落问题（egg dropping problem）而获得了当地科学家的赏识。这不，正当丁丁还沉浸在解决问题的喜悦中，科学家又给丁丁出了一个难题：
假设有n个鸡蛋和d次尝试机会，那么，最多能探索多少层楼？
这无疑是鸡蛋问题的翻版，因为这两个问题实在太像了。丁丁没有犹豫，立马按照之前的想法开始思考：
用f(d,n)f(d,n)表示该问题的解。假设从k层楼扔下鸡蛋（k足够大），若鸡蛋碎了，则剩下n-1个鸡蛋，d-1次尝试机会，最多能向下探索f(d−1,n−1)f(d−1,n−1)层楼；若鸡蛋没碎，则剩下n个鸡蛋，d-1次尝试机会，最多能向上探索f(d−1,n)f(d−1,n)层楼，于是：
f(d,n)=1+f(d−1,n−1)+f(d−1,n).f(d,n)=1+f(d−1,n−1)+f(d−1,n).
令 g(d,n)=f(d,n+1)−f(d,n)g(d,n)=f(d,n+1)−f(d,n),则：
g(d,n)=f(d,n+1)−f(d,n)=[1+f(d−1,n)+f(d−1,n+1)]−[1+f(d−1,n−1)+f(d−1,n)]=[f(d−1,n+1)−f(d−1,n)]+[f(d−1,n)−f(d−1,n−1)]=g(d−1,n)+g(d−1,n−1)g(d,n)=f(d,n+1)−f(d,n)=[1+f(d−1,n)+f(d−1,n+1)]−[1+f(d−1,n−1)+f(d−1,n)]=[f(d−1,n+1)−f(d−1,n)]+[f(d−1,n)−f(d−1,n−1)]=g(d−1,n)+g(d−1,n−1)
因为 f(0,n)=f(d,0)=0f(0,n)=f(d,0)=0,对于任意的 n,dn,d，且 f(d,1)=df(d,1)=d,故 g(0,n)=0,g(d,0)=d.g(0,n)=0,g(d,0)=d.因为在组合数学中，有：
Ckn=Ckn−1+Ck−1n−1,Cnk=Cn−1k+Cn−1k−1,
因此，由数学归纳法可知： g(d,n)=Cn+1d.g(d,n)=Cdn+1.当 n+1≥dn+1≥d时， Cn+1d=0.Cdn+1=0.对于 f(d,n)f(d,n),有：
f(d,n)=++++[f(d,n)−f(d,n−1)][f(d,n−1)−f(d,n−2)]⋯[f(d,1)−f(d,0)]f(d,0).f(d,n)=[f(d,n)−f(d,n−1)]+[f(d,n−1)−f(d,n−2)]+⋯+[f(d,1)−f(d,0)]+f(d,0).
因为 f(d,0)=0f(d,0)=0,因此 f(d,n)=∑i=1nCid,d≥1.f(d,n)=∑i=1nCdi,d≥1.于是，科学家的问题就解决了。
突然，丁丁又想到了：能不能用这个结果来解决鸡蛋掉落问题呢？答案是肯定的，对于给定的 k=f(d,n)k=f(d,n),只需要对d从1开始算起，得到d,恰好使得 f(d,n)≥k,f(d,n)≥k,则d即可鸡蛋掉落问题的解。
科学家看了丁丁的解答，十分满意，他终于下定决心招丁丁为自己的助手。不过，丁丁说，他还要去外面的世界再看看，因此，科学家也没有挽留，但他祝愿丁丁好运。
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本文的参考文献为： https://brilliant.org/wiki/egg-dropping/ 。
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