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什么是稀疏矩阵
稀疏矩阵是指矩阵中大部分元素为零的矩阵。在实际应用中，很多矩阵都是稀疏的，比如网络图、文本数据等。由于矩阵中存在大量的零元素，因此稀疏矩阵的存储和计算都具有一定的特殊性。
一般来说，在矩阵中，若数值为0的元素数目远远多于非0元素的数目，并且非0元素分布没有规律时，则称该矩阵为稀疏矩阵；与之相反，若非0元素数目占大多数时，则称该矩阵为稠密矩阵。下面的矩阵就是一个典型的稀疏矩阵：
![]()
优化稀疏矩阵数据存储的方法
1.直接存储为二维矩阵
使用二维矩阵作为电子表格的存储方法具有简单直接的优点，可以避免频繁地创建或删除内存段。然而，需要指出的是，这种方式在存储值时可能会有一些不太高效的方面，因为它会占用大量的存储空间来保存没有实际内容的单元格。
在实际应用中通常使用三元组表示稀疏矩阵：
三元组的表示方法是：对于一个 m×n 的稀疏矩阵 A，我们只存储矩阵中非零元素的信息，具体来说，将每个非零元素的行下标、列下标和值存储下来，得到一个三元组(i,j,Ai,j)，其中 i 是行下标，j 是列下标，Ai,j 是 A 中对应位置的值。
以前面举的稀疏矩阵为例，其三元组表示如下：
(1, 4, 6)
(2, 2, 5)
(3, 3, 4)
直接存储为二维矩阵的复杂度：
- 占用空间：O(N2) 。
- 插入数据：需要破坏矩阵。
- 删除数据：需要破坏矩阵。
- 搜索数据：O(N2)。
- 访问数据：O(1)。
N是假设行和列具有相同长度并形成正方形矩阵的行/列数。
2.通过键值对(Map, Dictionary)优化
通过键值对(Map, Dictionary)来优化，主要是利用哈希表的特性来快速查找元素。具体来说，可以将需要查找的元素作为键，将存储这些元素的数据结构作为值，然后将它们存储在一个哈希表中。这样，当需要查找某个元素时，只需要使用该元素作为键，通过哈希表的查找操作即可快速找到对应的值。
在实际应用中，常见的情况包括：
- 缓存数据：在需要频繁访问数据的场景中，通过建立一个缓存，将数据存储在一个键值对的数据结构中，可以显著提高数据的访问效率。
- 字符串处理：在需要对字符串进行匹配、查找等操作的场景中，可以将字符串作为键，将相应的处理结果作为值，存储在一个键值对的数据结构中，可以大幅提高字符串处理的效率。
- 数据库操作：在需要对数据库进行访问的场景中，可以使用键值对数据结构来存储查询结果，避免重复执行查询操作，减轻数据库的负载。
在下图中，将单元格位置和对应的单元格值以键值对的形式进行了存储。 ![]()
通过键值对(Map, Dictionary)优化稀疏数组的复杂度：
- 空间：O(N)。
- 插入：O(1)。
- 删除：O(1)。
- 搜索：O(N)。
- 访问：O(1)。
N为所记录的条目数。
3.通过数组存储方式优化
在稀疏矩阵中，我们可以使用三个不同的数组来存储行索引、列偏移、和其中的值，而不是直接在二维矩阵中存储值。
存储的三个数组：
- 值 =>单元格中的值。
- 行索引=>单元格的行索引。
- 列偏移=>这里每个索引都代表列，并且该数组将行开始的索引值存储在 Row 数组中。
下图为将稀疏数组转化为数组的形式： ![]()
稀疏矩阵具体的插入，删除，搜索，访问的代码：
import java.util.HashMap;
import java.util.Map;
class SparseMatrix {
private int rows;
private int cols;
private Map<String, Integer> matrix;
public SparseMatrix(int rows, int cols) {
this.rows = rows;
this.cols = cols;
this.matrix = new HashMap<>();
}
public void insert(int row, int col, int value) {
if (row < 0 || row >= rows || col < 0 || col >= cols) {
throw new IndexOutOfBoundsException("Invalid matrix index");
}
if (value != 0) {
String key = row + "," + col;
matrix.put(key, value);
}
}
public void delete(int row, int col) {
String key = row + "," + col;
matrix.remove(key);
}
public int search(int row, int col) {
String key = row + "," + col;
return matrix.getOrDefault(key, 0);
}
public int access(int row, int col) {
if (row < 0 || row >= rows || col < 0 || col >= cols) {
throw new IndexOutOfBoundsException("Invalid matrix index");
}
String key = row + "," + col;
return matrix.getOrDefault(key, 0);
}
}
在上述代码中，定义了一个 SparseMatrix 类来表示稀疏矩阵。在构造函数中，我们传入矩阵的行数和列数，并创建了一个 HashMap 对象 matrix 来存储非零元素。insert 方法用于向矩阵中插入元素，如果插入的值不为零，则将其加入 matrix 中，其中键为字符串形式的 row,col。delete 方法用于删除指定位置的元素，通过 remove 方法从 matrix 中移除对应的键值对。search 方法用于搜索指定位置的元素，通过调用 getOrDefault 方法从 matrix 中获取对应的值，如果不存在则返回默认值 0。access 方法用于访问指定位置的元素，如果超出矩阵边界则抛出异常，通过调用 getOrDefault 方法从 matrix 中获取对应的值。
通过稀疏矩阵存储方式优化的复杂度：
- 空间：O(N)。
- 插入：O(N)。
- 删除：O(N)。
- 搜索：O(N)。
- 访问：O(1)。
总结
相较于传统的数组存储或键值对存储，稀疏矩阵存储采用一种基于行索引的数据字典存储方法，这种方法在处理松散布局的表格数据时表现出色。与其他存储方式不同，稀疏矩阵只存储非空数据，无需额外开辟内存空间来存储空数据。这种特殊存储策略使得数据片段化变得容易，可以随时框取整个数据层中的一片数据进行序列化或反序列化。如果在项目开发中需要存储类似结构的数据，使用稀疏矩阵存储方式能够显著提升性能，无论从时间还是空间上都有很大的优势，葡萄城公司的纯前端表格控件——SpreadJS正是借助此功能实现了高性能渲染能力（100 毫秒内加载 10 万行数据）。
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