在互联网早期，随着网络上的网页逐渐增多，如何从海量网页中检索出我们想要的页面，变得非常的重要。
当时著名的雅虎和其它互联网公司都试图解决这个问题，但都没能有一个很好的解决方案。
直到1998 年前后，两位斯坦福大学的博士生，拉里·佩奇和谢尔盖·布林一起发明了著名的 PageRank 算法，才完美的解决了网页排名的问题。也正是因为这个算法，诞生了伟大的 Google 公司。
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（上图中：左为布林，右为佩奇。）
1，PageRank 算法原理
PageRank 算法的核心原理是：在互联网中，如果一个网页被很多其它网页所链接，说明该网页非常的重要，那么它的排名就高。
拉里·佩奇将整个互联网看成一张大的图，每个网站就像一个节点，而每个网页的链接就像一个弧。那么，互联网就可以用一个图或者矩阵来描述。
拉里·佩奇也因该算法在30 岁时当选为美国工程院院士。
假设目前有4 个网页，分别是 A，B，C，D，它们的链接关系如下：
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我们规定有两种链：
- 出链：从自身引出去的链。
- 入链：从外部引入自身的链。
比如图中的C 网页，有两个入链，一个出链。
PageRank 的思想就是，一个网页的影响力就等于它的所有入链的影响力之和。
用数学公式表示为：
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其中（分值代表页面影响力）：
PR(u) 是网页u 的分值。Bu 是网页u 的入链集合。- 网页
v 是网页u 的任意一个入链。
PR(v) 是网面v 的分值。L(v) 是网页v 的出链数量。- 网页
v 带给网页u 的分值就是 PR(v) / L(v)。
- 那么
PR(u) 就等于所有的入链分值之和。
在上面的公式中，我们假设从一个页面v 到达它的所有的出链页面的概率是相等的。
比如上图来说，页面A 有三个出链分别链接到了 B、C、D 上。那么当用户访问 A 的时候，就有跳转到 B、C 或者 D 的可能性，跳转概率均为 1/3。
2，计算网页的分值
下面来看下如何计算网页的分值。
我们可以用一个表格，来表示上图中的网页的链接关系，及每个页面到其它页面的概率：
|
A |
B |
C |
D |
| A |
0 A->A |
1/2 B->A |
1 C->A |
0 D->A |
| B |
1/3 A->B |
0 B->B |
0 C->B |
1/2 D->B |
| C |
1/3 A->C |
0 B->C |
0 C->C |
1/2 D->C |
| D |
1/3 A->D |
1/2 B->D |
0 C->D |
0 D->D |
根据这个表格中的数字，可以将其转换成一个矩阵M：
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假设 A、B、C、D 四个页面的初始影响力都是相同的，都为 1/4，即：
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经过第一次分值转移之后，可以得到 W<sub>1</sub>，如下：
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同理可以得到W<sub>2</sub>，W<sub>3</sub> 一直到 W<sub>n</sub>：
- W<sub>2</sub> = M * W<sub>1</sub>
- W<sub>3</sub> = M * W<sub>2</sub>
- W<sub>n</sub> = M * W<sub>n-1</sub>
那么什么时候计算终止呢？
佩奇和布林已经证明，不管网页的初识值选择多少（我们这假设都是1/4），最终都能保证网页的分值能够收敛到一个真实确定值。
也就是直到 W<sub>n</sub> 不再变化为止。
这就是网页分值的计算过程，还是比较好理解的。
3，PageRank 的两个问题
我们上文中介绍到的是PageRank 的基本原理，是简化版本。在实际应用中会出现等级泄露（RankLeak）和等级沉没（Rank Sink）的问题。
如果一个网页没有出链，就会吸收其它网页的分值不释放，最终会导致其它网页的分值为0，这种现象叫做等级泄露。如下图中的网页C：
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相反，如果一个网页没有入链，最终会导致该网页的分值为0，这种现象叫做等级沉没。如下图中的网页C：
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4，PageRank 的随机浏览模型
为了解决上面的问题，拉里·佩奇提出了随机浏览模型，即用户并不都是依靠网页链接来访问网页，也有可能用其它方式访问网址，比如输入网址。
因此，提出了阻尼因子的概念，这个因子代表用户按照跳转链接来上网的概率，而 1-d 则代表用户通过其它方式访问网页的概率。
所以，将上文中的公式改进为：
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其中：
- d 为阻尼因子，通常可以取0.85。
- N 为网页总数。
5，用代码计算网页分值
如何用代码来计算网页的PR 分值呢？（为了方便查看，我把上图放在这里）
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我们可以看到，该图实际上就是数据结构中的有向图，因此我们可以通过构建有向图来构建 PageRank 算法。
NetworkX 是一个Python 工具包，其中集成了常用的图结构和网络分析算法。
我们可以用 NetworkX 来构建上图中的网络结构。
首先引入模块：
import networkx as nx
用 DiGraph 类创建有向图：
G = nx.DiGraph()
将4 个网页的链接关系，用数组表示：
edges = [
("A", "B"), ("A", "C"), ("A", "D"),
("B", "A"), ("B", "D"),
("C", "A"),
("D", "B"), ("D", "C")
]
数组中的元素作为有向图的边，并添加到图中：
for edge in edges:
G.add_edge(edge[0], edge[1])
使用pagerank 方法计算PR 分值：
# alpha 为阻尼因子
PRs = nx.pagerank(G, alpha=1)
print PRs
输出每个网页的PR 值：
{'A': 0.33333396911621094,
'B': 0.22222201029459634,
'C': 0.22222201029459634,
'D': 0.22222201029459634}
最终，我们计算出了每个网页的PR 值。
6，画出网络图
NetworkX 包中还提供了画出网络图的方法：
import matplotlib.pyplot as plt
# 画网络图
nx.draw_networkx(G)
plt.show()
如下：
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我们还可以设置图的形状，节点的大小，边的长度等属性，具体可以点击这里查看。
更多关于 NetworkX 的内容可以参考其官方文档。
7，总结
PageRank 算法给了我们一个很重要的启发，权重在很多时候是一个非常重要的指标。
- 比如在人际交往中，个人的影响力不仅取决于你的朋友的数量，而且朋友的质量非常重要，说明了圈子的重要性。
- 比如在自媒体时代，粉丝数并不能真正的代表你的影响力，粉丝的质量也很重要。如果你的粉丝中有很多大V，那么将大大增加你影响力。
本篇文章主要介绍了：
- PageRank 算法的原理。
- 简化版的PageRank 算法遇到的问题，以及解决方案：
- 等级泄露和等级沉没。
- 引出随机浏览模型来解决这两个问题。
- 如何用代码模拟PageRank 算法：
（本节完。）
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